цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д. число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей

16 (повышенный уровень, время – 2 мин)
Тема: Кодирование чисел. Системы счисления.
Что нужно знать:
принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления
чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на 13 EMBED Equation.3 1415 в степени, равной ее разряду:
4 3 2 1 0 разряды
1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0
последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 – это остаток от деления этого числа на 13 EMBED Equation.3 1415
две последние цифры – это остаток от деления на 13 EMBED Equation.3 1415, и т.д.
число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:13 EMBED Equation.3 1415
число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415
число 2N–2K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда следует, что 13 EMBED Equation.3 1415
Пример задания:
Р-21. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4512 + 8512 – 2128 – 250
Решение:
Общая идея: количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц
приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 28 – 22 – 21:
4512 + 8512 – 2128 – 250 = (22)512 + (23)512 – 2128 – 28 + 22 + 21 =
= 21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21
старшая степень двойки – 21536, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 1536 нулей, то есть, состоит из 1537 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц
вспомним, число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2N–2K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию
в нашем случае в выражении
21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21
стоит два знака «минус» подряд, что не позволяет сразу использовать формулу
используем равенство 13 EMBED Equation.3 1415, так что – 2128 = – 2129 + 2128; получаем
21536 + 21024 – 2129 + 2128 – 28 + 22 + 21
здесь две пары 2N–2K , а остальные слагаемые дают по одной единице
общее число единиц равно 1 + (1024 – 129) + (128 – 8) + 1 + 1 = 1018
таким образом, количество значащих нулей равно 1537 – 1018 = 519
ответ: 519.
Ещё пример задания:
Р-20. Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 – 2150 – 122
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 27 – 22 – 21:
42015 + 8405 – 2150 – 122 = (22)2015 + (23)405 – 2150 – 27 + 22 + 21 =
= 24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21
вспомним, число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2N–2K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию
в нашем случае вы выражении
24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21
стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу
используем теперь равенство 13 EMBED Equation.3 1415, так что – 2150 = – 2151 + 2150; получаем
24030 + 21215 – 2151 + 2150 – 27 + 22 + 21
здесь две пары 2N–2K , а остальные слагаемые дают по одной единице
общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210
ответ: 1210.
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 27 – 22 – 21:
42015 + 8405 – 2150 – 122 = (22)2015 + (23)405 – 2150 – 27 + 22 + 21 =
= 24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21
ищем в разности крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 21215 – 27, при этом 2150 на время «теряем»
определяем количество единиц в разности 21215 – 27, получаем 1215 – 7 = 1208 единиц
так как «внутри» этой разности есть еще 2150, то просто вычитаем одну единицу: 1208 – 1 = 1207; итого в разности 21215 – 2150 – 27 ровно 1207 единиц
осталось прибавить по одной единицы от чисел 24030, 22, 21
Ответ: 1210
Ещё пример задания:
Р-18. Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 8
Решение:
приведём все числа к степеням двойки:
42014 + 22015 – 8 = (22)2014 + 22015 – 23 = 24028 + 22015 – 23
вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415, а число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22015 – 23 запишется как 2012 единиц и 3 нуля
прибавление 24028 даст ещё одну единицу, всего получается 2012 + 1 = 2013 единиц
ответ: 2013.
Ещё пример задания:
Р-17. Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 + 22018 – 8600 + 6
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как 22+21
42016 + 22018 – 8600 + 6 = (22)2016 + 22018 - (23)600 + 22 + 21 = 24032 + 22018 – 21800 + 22 + 21
вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415, а число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22018 – 21800 запишется как 218 единиц и 1800 нулей
прибавление 24032 даст ещё одну единицу, а прибавление 22 + 21 – ещё две, всего получается 218 + 3 = 221 единица
ответ: 221.
Ещё пример задания:
Р-16. Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 – 22018 + 8800 – 80
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415, а число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22400 – 22018 запишется как 382 единицы и 2018 нулей
добавляем старшее слагаемое 24032, получаем число 24032 + 22400 – 22018, в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:
13 EMBED Equation.3 1415
выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 22018):
13 EMBED Equation.3 1415,
где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22018 – 26 запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:
13 EMBED Equation.3 1415
где число L содержит 2011 единиц
теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 26 – 24, согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы
таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395
ответ: 2395.
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
представим – 22018 = – 22019 + 22018 и – 26 = – 27 + 26
24032 + 22400 – 22019 + 22018 – 27 + 26– 24
слагаемое 24032 в двоичной записи содержит 1 единицу
слагаемое 22400 – 22019 содержит 381 единицу (число 2N–2K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415)
слагаемое 22018 – 27 содержит 2011 единиц, слагаемое 26– 24 содержит 2 единицы
позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395
ответ: 2395
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
выражение 22400–24 дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (26) и, соответственно на 2019 месте справа (22018). Следовательно, остается 2394 единички.
С учетом того, что 24032 дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц
Ответ: 2395
Задачи для тренировки:
89. Сколько единиц в двоичной записи числа 81023 + 21024 – 3?
90. Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 + 22018 – 6?
91. Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 9?
92. Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 22015 – 15?
93. Сколько единиц в двоичной записи числа 82014 – 2614 + 45?
94. Сколько единиц в двоичной записи числа 81014 – 2530 – 12?
95. Сколько единиц в двоичной записи числа 22014 – 4650 – 38?
96. Сколько единиц в двоичной записи числа 42018 + 8305 – 2130 – 120?
97. Сколько единиц в двоичной записи числа 82018 – 41305 + 2124 – 58?
98. Сколько единиц в двоичной записи числа 84024 – 41605 + 21024 – 126?
99. Сколько единиц в двоичной записи числа 81234 – 4234 + 21620 – 108?
100. Сколько единиц в двоичной записи числа 82341 – 4342 + 2620 – 81?
101.Сколько единиц в двоичной записи числа 81341 – 41342 + 21343 – 1344?
107. Сколько единиц в двоичной записи числа 8502 – 4211 + 21536 – 19?
108. Сколько единиц в двоичной записи числа 8415 – 4162 + 2543 – 25?
109. Сколько единиц в двоичной записи числа 8115 – 4123 + 2543 – 15?
110. Сколько единиц в двоичной записи числа 8125 – 4156 + 2632 – 7?
111. Сколько единиц в двоичной записи числа 8148 – 4123 + 2654 – 17?
112. Сколько единиц в двоичной записи числа (24400 – 1)·(42200 + 2)?
113. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4350 + 8340 – 2320 – 12?
114. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4590 + 8350 – 21020 – 25?
115. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4230 + 8120 – 2150 – 100?
116. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 41024 + 81025 – 21026 – 140?
117. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 42015 + 82016 – 22017 – 150?
120. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8740 – 2900 + 7?
121. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8820 – 2760 + 14?
122. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8560 – 2234 + 56?
123. Сколько единиц в двоичной записи числа 82020 + 42017 + 26 – 1?
124. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 416 + 236 – 16?
138. Сколько цифр в восьмеричной записи числа 21024+21026?
139. Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 21024+21025?
140. Сколько цифр в восьмеричной записи числа 2299+2298+2297+2296?
141. Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2379+2378+2377?













13 PAGE \* MERGEFORMAT 14615


N0 = 1



Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 12039147
    Размер файла: 122 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий