4. Великие математики древности. Эратосфен, Архимед, Пифагор, Евклид, Фалес, Эйлер. Жизнь, творчество, работы великих математиков, их вклад в развитии математической науки.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.


2

2




3

3


ВВЕДЕНИЕ


С давних пор перед человечеством стоит проблема
-

чему учить и как учить
?
Целью воспитания и образования в нашем обществе является всесторонне развитая
личность
,
в связи с чем перед нами
,
учителями
-
практиками
,
ставится задача
построить процесс об
учения таким образом
,
чтобы обеспечить формирование
личности
,
обладающей высокими духовными потребностями
.
Это
,
в свою очередь
,
диктует необходимость строить познавательную деятельность учащихся так
,
чтобы
она была одновременно процессом развития их творче
ской активности
.
Этого можно
добиться через работу элективных курсов
.

Э
лективные курсы не только усиливают
интерес детей к математике как к предмету школьной программы, но и как к науке.

Для создания положительной эмоциональной обстановки, для поддержания

и
развития интереса к предмету на уроках такой строгой науки, как математика,
возможно введением в их структуру занимательных моментов. Занимательность, по
мнению Н.И.Лобачевского


необходимое средство возбуждения и поддержания
внимания. Главный фактор з
анимательности


это приобщение учащихся к
творческому поиску, активизация их самостоятельной исследовательской
деятельности, так как часто уникальность занимательной задачи служит мотивом к
учебной деятельности, развивая и тренируя мышление вообще, и твор
ческое, в
частности. Творческий труд позволяет получить доступ к радости познания,
положительным эмоциям, что позволяет снять усталость.

Э
лективн
ые

курс
ы


разрабатыва
ю
тся

так, что от учащихся не требуется
специальных знаний и умений по данной теме, что по
зволяет ученику, имеющему
обязательный уровень учебных умений активно включиться в учебно
-
познавательный процесс и максимально себя проявить.
Программа курса реализует
формирование умения

использовать различные языки математики, свободно
переходить с языка

на язык для иллюстрации, интерпретации, аргументации и
доказательства, интегрирования в личный опыт новой, в том числе самостоятельно
полученной, информации; осваивать более сложный уровень знаний по предмету,
достойно выступать на олимпиадах и участвоват
ь в различных конкурсах.
Содержание элективн
ого

курс
а

и форма

его
организации помогают школьникам
через занятия курсов оценить свой потенциал с точки зрения образовательной
перспективы и предоставляют им возможность работать на уровне повышенных
возможност
ей, развивая способности прогнозирования результатов своей
деятельности.


Раскрытие одаренности не сводится к углубленному обучению. В самом же
обучении усвоение новой информации подчиняется задаче усвоения методов

и

стиля,
свойственных математике. Владени
е
разными

методами в дальнейшем поможет им
не растеряться на различных математических соревнованиях.

Таким образом, содержание курса в основной школе представляет собой
важное неотъемлемое звено в системе непрерывного математического
образования, являющее
ся основой для последующей уровневой и профильной
работы и учебы.






4

4


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Элективный курс « За ст
р
аницами учебника математики» рассчитан на
учащихся 5 классов, интересующихся математикой. Проведение такого курса
способствует самоопределени
ю учащихся при переходе к профильному обучению в
средней и старшей школе.

Его содержание можно варьировать с учетом склонностей, интересов, уровня
подготовленности детей
.

Курс рассчитан на 35

час
ов
. Рекомендуемая продолжительность одного занятия
для 5
-
го к
ласса


40

минут. В качестве основной формы проведения курса выбрано
комбинированное тематическое занятие, на котором решаются упражнения и задачи
по теме занятия, заслушиваются сообщения учащихся, проводятся игры, викторины,
математические эстафеты и т.п.
, рассматриваются олимпиадные задания,
соответствующей тематики
.



Общая характеристика


Программа курса реализует
формирование умения

использовать различные
языки математики, свободно переходить с языка на язык для иллюстрации,
интерпретации, аргументации

и доказательства, интегрирования в личный опыт
новой, в том числе самостоятельно полученной, информации; осваивать более
сложный уровень знаний по предмету, достойно выступать на олимпиадах и
участвовать в различных конкурсах. Раскрытие одаренности не сво
дится к
углубленному обучению. В самом же обучении усвоение новой информации
подчиняется задаче усвоения методов

и

стиля, свойственных математике. Владение
этими методами в дальнейшем поможет им не растеряться на различных
математических соревнованиях.

От
уровня подготовленности состава группы зависит объем теоретического
материала и перечень тем для занятий. При работе с начинающими заниматься
математикой школьниками рекомендуется больше внимания уделять решению задач,
объем теоретических занятий должен бы
ть минимальным. Следует учить не столько
фактам, сколько идеям и способам рассуждений.

Введение основных тем,
стандартных задач происходит при постепенном погружении в данный тип задач.
Основные виды задач разбираются вместе с преподавателем, затем даются
задачи для
самостоятельного решения.

Материал был отобран в соответствии с возрастными особенностями
школьников,
программой по математике для 5

класса и включил в себя темы,
которые чаще всего встречаются на различных математических соревнованиях.
Также п
ри подборе материала учитывалось следующее: показа
ть учащимся красоту
математики.


Место курса в базисном плане


Данный курс, в объеме 35 часов

представлен для проведения занятий в 5
классе, и рассчитан на обучающихся, которые проявляют интерес к математи
ке, и
при этом не обязательно обладают ярко выраженными математическими
способностями.



5

5


Для осознанного усвоения содержания, указанных тем, особое внимание
уделяется практическим занятиям, групповой работе, знакомству с историческими
фактами, сочетанию поз
навательной работы на занятиях с исследовательской
домашней работой. Решение задач на смекалку, задач
-

ловушек, головоломок
призвано помочь развитию памяти, смекалки, внимания и других качеств,
позволяющих нестандартно мыслить. Такие задачи доступны для ук
азанной
возрастной группы, так как многие из них имеют игровой характер, позволяют
поддерживать постоянный интерес различными историческими экскурсами,
организовывать состязательные ситуации при их решении. Учащиеся получают в
основном практические навыки
в решении задач, курс не содержит обилия
теоретических выкладок, что исключает уменьшение интереса к предмету в данной
возрастной группе.

Таким образом, содержание курса в основной школе представляет собой
важное неотъемлемое звено в системе непрерывного м
атематического
образования, являющееся основой для последующей уровневой и профильной
дифференциации.


В процессе проведения данного элективного курса ставятся следующие
цели:



развить интерес учащихся к математике;



расширить и углубить знания учащихся по
математике;



развить математический кругозор, мышление,
исследовательские умения учащихся;



воспитать настойчивость, инициативу в процессе учебной
деятельности;



формировать психологическую готовность учащихся решать
трудные и нестандартные задачи.


Задачами
элективного курса являются:



достижение повышения уровня математической подготовки
учащихся;
-




приобретение опыта коммуникативной, творческой деятельности;
-




знакомство с различными типами задач как классических, так и
нестандартных;
-



практика решения олимп
иадных заданий.

В тематическом планировании предметные цели и планируемые результаты
обучения конкретизированы до уровня учебных действий, которыми овладевают
обучаемые в процессе освоения предметного содержания.

Таким образом, в программе обозначено целе
полагание на разных уровнях: на
уровне целей; на уровне метапредметных, предметных и личностных
образовательных результатов (требований); на уровне учебных действий.

Образовательные результаты представлены на нескольких уровнях


метапредметном, личностном

и предметном. В свою очередь, предметные результаты
обозначены в соответствии с основными сферами человеческой деятельности:
познавательной, ценностно
-
ориентационной, трудовой, физической, эстетической.



6

6


Содержание программы элективного курса


1.

Как люди нау
чились считать
.

Счет у первобытных людей; числа
разных народов; в мире больших чисел, метрическая система мер; происх
о
ждение
математических знаков; старинные меры длины. Цифры и числа. Запись цифр у
разных народов. Числа
-
великаны. Натуральные числа. Н
е
кото
рые виды натуральных
чисел и их свойства. Построение математиками фигурных чисел. Как возникла
арифметика. Происхождение ари
ф
метических действий. Из истории возникновения
нуля. Почему на нуль делить нельзя? Интересные арифметические упражнения.
Интересные
приёмы устных и письменных вычислений. Особенности быстрого
ари
ф
метического счёта. Один из старинных способов вычисления на пальцах.
Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда. В
ы
числения
посредством таблиц. Вспомогательные средства вычис
лений. Простейшие
электронные и счётные приборы, их историческое значение. Весёлый счёт. История
возникновения календаря. Календарь от древности до наших времен.

2.

Логические и олимпиадные задачи, их типы и особенности.

Виды
л
о
гических задач: задачи на вним
ание; задачи
-
шутки, задачи на сравнение, задачи на
взвешивание, задачи на переливание, задачи на движение, з
а
дачи со спичками.
Использование таблиц при решении логических задач. Особенности анализа условия,
приемов решения и оформления олимпиадных задач.
Математические задачи
-
загадки
античных времен. Старинные занимательные истории по математике. Заним
а
тельные
задачи. Задачи математического содержания на основе народных сказок. Некоторые
задачи русских писателей.

3.

Знакомство с геометрией.

Геометрические ил
люзии, фокус «Продень

монетку»,

геометрическая смесь, геометрия на клетчатой бумаге, разрезание на
равные части, задачи со спичками ; геоме
т
рия в пространстве. Геометрические
путешествия. Геометрические задачи на вычерчивание фигур без отрыва карандаша
от
бумаги. Задачи на ра
з
резание. Простейшие многогранники (прямоугольный
параллелепипед, куб). Сказки о прямоугольнике, о квадрате. Новоселье шара. Случай
из жизни плоскости. История о круглых братьях.

4.

Великие математики древности.

Эратосфен, Архимед, Пифагор
,
Евклид, Фалес, Эйлер. Жизнь, творчество, работы великих математиков, их вклад в
развитии математической науки.

5.

Круги Эйлера, элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Круги Эйлера. Комбинации.
Принцип Дирихле.
Дерево возможных вариантов.
Достоверные
, невозможные и случайные события. Вероятность. Подсчет
вероятности.

6.

Женщины математики.

Гипатия, Жермен Софи, Лавлейс Ада, Мария
Аньези, Софья Ковалевская, Любовь Запольская. Их жизнь и вклад в развитие
математики.

7.

Математические игры и головоломки
. Класс
ификация математических
головоломок. Разнообразные приемы их разгадывания. Арифметич
е
ские
закономерности.

Задания на восстановление чисел и цифр в арифметических записях.
Нахождение арифметических действий в зашифрова
н
ных действиях. Волшебные
квадраты.
Арифметические фокусы. Арифм
е
тические игры и головоломки




7

7


Ценностные ориентиры элективного курса


Актуальность
программы определена тем, что школьники должны иметь
мотивацию к обучению математики, стремиться развивать свои интеллектуальные
возможности.

Зан
ятия элективного курса должны содействовать развитию у детей
математического образа мышления: краткости речи, умелому использованию
символики, правильному применению математической терминологии и т.д.

Творческие работы, проектная деятельность и другие техн
ологии,
используемые на занятии, должны быть основаны на любознательности детей,
которую и следует поддерживать и направлять. Данная практика поможет ему
успешно овладеть не только предметными, но и надпредметными УУД.

Элективный курс имеет большое образо
вательное и воспитательное значение
Он направлен на овладение обучащимися конкретными предметными знаниями и
умениями, необходимыми для дальнейшего применения.


Оценка знаний

Для проверки степени усвоения материала по каждой теме рекомендуется
проводить те
матический контроль в форме проверочных самостоятельных работ,
тестов, кроссвордов по темам блока занятий, устную олимпиаду и т.п.


Такие проверочные работы должны носить не столько оценивающий, сколько
обучающий характер и являться продолжением процесса о
бучения. Оценки за такие
работы можно ставить условно


например, в баллах по числу верно выполненных
заданий. Учитывая возраст учащихся, проверочные работы можно проводить в
форме игр, викторин, соревнований.


Принципы программы:

Актуальность

Создание ус
ловий для повышения мотивации к обучению
математики, стремление развивать интеллектуальные возможности учащихся.

Научность

Математика


учебная дисциплина, развивающая умения логически
мыслить, видеть количественную сторону предметов и явлений, делать выво
ды,
обобщения.

Системность

Курс строится от частных примеров (особенности решения
отдельных примеров) к общим (решение математических задач).

Практическая направленность

Содержание занятий
курса
направлено на
освоение математической терминологии, которая п
ригодится в дальнейшей работе,
на решение занимательных задач, которые впоследствии помогут ребятам принимать
участие в школьных и городских олимпиадах и других математических играх и
конкурсах.

Обеспечение мотивации

Во
-
первых, развитие интереса к математи
ке как
науке физико
-
математического направления, во
-
вторых, успешное усвоение учебного
материала на уроках и выступление на олимпиадах по математике.

Реалистичность

С точки зрения возможности усвоения основного содержания
программы


возможно усвоение за 3
4 занятия.



8

8


Курс ориентационный

Он осуществляет учебно
-
практическое знакомство со
многими разделами математики, удовлетворяет познавательный интерес школьников
к проблемам данной точной науки, расширяет кругозор, углубляет знания в данной
учебной дисциплине
.



Требования к результатам обучения


Изучение материала элективного курса дает возможность обучающимся
достичь следующих образовательных результатов:

1) в личностном направлении:



умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной р
ечи,
понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры;



критичность мышления, умение распознавать логически некорректные
высказывания, отличать гипотезу от факта;



представление о математической науке как сфере ч
еловеческой деятельности,
об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации;



креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении
математических задач;

2) в метапредметном направлении:



первоначальные представления об идеях

и о методах математики как об
универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и
процессов;



умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в
других дисциплинах, в окружающей жизни;



умение находить в различных исто
чниках информацию, необходимую для
решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме;
принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и
вероятностной информации;



умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать
нео
бходимость их проверки;

3) в предметном направлении:



умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать
необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной
и письменной речи с применением математической терминологии и сим
волики,
использовать различные языки математики, проводить классификации,
логические обоснования, доказательства математических утверждений;



умение проводить классификации, логические обоснования, доказательства
математических утверждений;



умение распознав
ать виды математических утверждений (аксиомы,
определения, теоремы и др.), прямые и обратные теоремы;



развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до
действительных чисел; овладение навыками


устных, письменных,
инструментальных вычисл
ений;


Основные виды деятельности учащихся:



9

9




решение нестандартных задач;



участие в математическ
их олимпиадах



знакомство с научно
-
популярной литературой, связанной с
математикой;



проектная деятельность



самостоятельная работа;



работа в парах, в группах;



тво
рческие работы


Занятие может быть построено по плану:

1.

Историческая справка или занимательный математический сюжет,
или задачи


шутки.

2.

Изучение теоретического материала, соответствующего данной
теме.

3.

Разбор решения задач по теме занятия, в том числе повы
шенной
трудности.

4.

Самостоятельное решение задач.

5.

Задание на дом может включать в себя исследовательскую работу
или решение задач по изученной теме


























10

10


Учебно
-
тематический план






п/п

Соде
р
жание

Кол
-
во
часов

Форма
проведения
з
а
нятий

Орга
н
и
зация
самостоятельной
деятельн
о
сти

Дата
проведения

1

Вводное занятие

1

лекция



2
-
7

Как люди научились
считать

6

Лекция
,
дискуссии,
практически
е занятия

Рефераты,
презинтации,
практические
работы


8
-
15

Логические и
олимпиадные задачи,
их типы и особен
ности

8

Лекция
,
практически
е занятия

практические
работы


16

Великие математики
древности

1

семинар

Рефераты,
презинтации


17
-
22

Знакомство с
геометрией

6

лекция

практические
работы


23

Женщины математики

1

семинар

Рефераты,
презинтации


24
-
28

Круги Эй
лера,
элементы
комбинаторики и
теории вероятностей

5

Лекция
,
практически
е занятия

практические
работы


29
-
34

Математические игры
и головоломки.

5

Лекция
,
практически
е занятия

практические
работы


35

Итоговое занятие

1


Контрольная
работа



Итого

35






11

11


Учебно
-
методический комплекс курса

Приложение

1

Приложение

1.1


Как люди научились считать

1. Учиться считать люди начали с незапамятных времен, а учителем у них была
сама жизнь.

-

Как древние люди добывали себе пищу?

Древние люди добывали себе пищу г
лавным образом охотой. На крупного
зверя
-

бизона или лося приходилось охотиться всем племенем. В одиночку ведь с
ним не справиться.

-

Каким образом здесь нужен был счет?

Командовал облавой самый старый и опытный охотник. Чтобы добыча не
ушла, ее нужно был
о окружить. Ну, хотя бы так: 5 человек справа, 7 сзади, 4 слева.
Тут уж без счета никак не обойтись. И вождь первобытного племени справлялся с
этой первой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как "пять"
или "семь", он мог показать
число на пальцах рук.

Даже сейчас на Земле существуют племена, которые при счете не могут
обойтись без пальцев рук. Вместо числа "пять" говорят "рука", "десять"
-

"две руки",
а "двадцать"
-

"весь человек". Тут уж и пересчитываются пальцы ног.

Лет 50
-

60
тому назад в нашей стране были такие народности, которые умели
считать только на пальцах.

2. Послушайте рассказ.

-

О каком народе идет речь?

-

При помощи чего велся счет?

Проезжая однажды мимо стойбища чукчей, я заметил на склоне небольшое
стадо оленей. Я
насчитал 128 оленей. Когда я спросил у хозяина, сколько у него
оленей, он ответил:

"Мы не считали. Но если хоть один олень пропадет из стада, глаза мои узнают
сразу.

-

А можешь ты посчитать?

-

Если тебе нужно, посчитаю. Долго буду считать, поезжай пока в я
рангу, а
потом я принесу счет.

В яранге мы успели попить чаю, перекусить, поговорить с хозяином обо всем, а
часа через два пришел наш подсчетчик. Он назвал число 128. Старик
-

хозяин
удивился такому множеству оленей.

-

Наверное, ты ошибся. Так много оленей

никогда у нас не было.

Старик решил проверить:

Для этого он разулся, и через три часа сообщил, что все верно подсчитали. Для
подсчета не хватило своей семьи из пяти человек, пришлось пригласить еще двух
человек из соседней яранги.

-

Как сосчитали оленей?

3. Так люди начинали учиться считать, пользуясь тем, что дала им сама
природа
-

собственной пятерней. Иногда говорят: "Знаю, как свои пять пальцев" Не с
того ли времени пошло это выражение, надо знать, что пальцев 5, зачем тогда
считать.



12

12


4. Проходили многи
е, многие годы. Менялась жизнь человека. Люди приручали
диких животных, на земле появились первые скотоводы, затем и земледельцы.
Постепенно росли знания людей, и чем дальше, тем больше увеличивалась
потребность людей считать. Скотоводам приходилось пересч
итывать свои стада, а
при этом их счет мог уже идти сотнями, тысячами. Земледельцу надо было знать,
сколько земли нужно засеять, чтобы прокормиться. Людям все чаще приходится
сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно.
Ну
жно было придумать, как их записывать.

И вот примерно 5 тысяч лет назад почти одновременно в разных странах
-

Вавилоне, Египте, Китае
-

родился способ записи чисел.

5. Прежде чем говорить об этом, давайте разберемся, как мы записываем число
сейчас.

Мы поль
зуемся всего десятью цифрами, но с помощью этих десяти знаков
можем записать любое число.

-

Как это получается?

Возьмем число 189. Чтобы его получить, надо

189 = 1 сот. + 8 дес. + 9 ед.

Мы такое сложение выполняем в уме и обычно даже не думаем об этом.
Каж
дое число состоит из ступенек единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д. Математики
называют такие ступеньки:разрядами. Мы с вами считаем десятичными ступеньками
-

десятками.

6. Так вот около 5 тысяч лет назад люди додумались до того, что числа можно
записывать

по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки и т.д. Это было очень
важным открытием. Считать и записывать числа теперь стало гораздо легче.

7. Древние египтяне считали также как мы сейчас считаем
-

десятками. Но
специальные знаки
-

цифры у них были тол
ько для разрядов: единиц, десятков, сотен,
тысяч. Чтобы записать 7, египтянину приходилось записывать
-

рисовать 7 палочек.

I I I I

I I I

А например число 1873 египтяне писали так:

-

Почему такая запись?

8. В Древнем Вавилоне считали не десятками, а шестид
есятками. Число 60
играло у них такую же роль как у нас 10.

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых

137 = 100 + 30 + 7

137 = 1 сот + 3 дес. + 7 ед.

А вавилонский ученый записал бы так

137 = 2 шестидесятки + 17 единиц

-

Проверьте, получается ли 137? К
ак считали?

Конечно, записывал он это не так как мы.

Вавилонская запись была не очень удобной. Особенно много было путаницы
при записи больших чисел.

Интересно, что до сих пор мы пользуемся вавилонской системой счета. В часе
60 минут, а в минуте 60 секунд.

Видимо это осталось в наследство от Вавилона.

9. Очень интересная система счета была у народов майя, которые жили в
Средней Америке (там где сейчас Мексика)



13

13


Майя считали двадцатками, у них была двадцатеричная система счета.

10. У предков русского народа
-

славян, как и у других народов, первым
учителем математики была жизнь. Записывали славяне цифры при помощи букв со
специальными значками
-

титло.

11. В 16 веке при Иване Грозном на Руси появляются первые рукописные
учебники по математике, а позже
-

печат
ные.

Особенно важную роль в развитии математики как науки сыграла книга
Леонтия Филипповича Магницкого "Арифметика, или наука числительная". Она
была настольной книгой всех образованных людей того времени. Великий русский
ученый М.В. Ломоносов знал ее наиз
усть.

12.Вот как долго появлялась, зарождалась наука математика.

Но этот интересный мир чисел был не только полезным, необходимым, но и как
все новое и мало известное порождал у людей суеверия, которые так и назывались
числовые суеверия.

-

Какое число мы
можем отнести к числовым суевериям? Почему?

Мы говорили, что у разных народов были разные системы счисления.
Появилась и 12
-
ричная система, число 12 замыкало счет, поэтому оно считалось
символом богатства. А дальше после этого числа должно следовать таинст
венное,
неизвестное, страшное. Им оказалось число 13.

Кроме того число 13 не делится ни на одно число кроме как на себя и на 1.

В нумерации древних евреев 13 обозначали буквой М. Этой же буквой
начинались слова смерть (мовес),мертвец. Все это послужило ист
очником легенд о
числе 13.

Кроме этого числа к нехорошим были отнесены числа 11, 666, 9, 41.

Но были числа, которые наоборот несли на себе символы полноты,
совершенства, обожествления. Это 3, 7, 10, 40, 60.


13.Числовые суеверия часто использовали в разных

целях гадалки,
стремившиеся предсказать судьбу человека. Пытались они это сделать и при помощи
логических или магических квадратов.

1
4

3

1
3

9


1
0

1
1

7

1
7

6

Сумма 30

Один из способов составления

Подбираются 9 чисел, разность между соседними числами долж
на быть равна
постоянному числу. Например: 1,3,5,7,9,11,13,15,17

В этом ряду подчеркиваем вторую тройку чисел. Сложив эти числа получаем
сумму магич. квадрата (7+9+11=27). Эту тройку чисел располагаем по любой
диагонали. Рядом с самым меньшим числом распол
агаем самое большое число в ряду
(17), либо самое меньшее из ряда (1) с самым большим из трех подчеркнутых
-

11.



14

14



Как видите, ничего сложного здесь нет, просто нужно знать математику.

14. Магическими чудодейственными силами обладает число 1001.

Попробуем р
аскрыть это таинственное свойство, проведя опыт
-

фокус.

* Запишите любое трехзначное число, покажите его соседу по парте.

* Теперь припишите к этому числу слева или справа такое же число.

* Полученное шестизначное число разделите на 7,



результата раздели
те на 11,



следующий результата разделите на 13.

* К полученному результату прибавьте 1

* Назовите ответ.

Я угадала задуманное число.

В чем секрет?

Приписывая к трехзначному числу такое же, мы умножили его на 1001.

1001=7 * 11 * 13

Значит деля шестизначное
число на 7, 11, 13, вы оказывается разделили его на
1001. Для хитрости прибавили число 1, а потом отняли его и получили ответ.

Такая особенность числа 1001 явилась причиной отнесения его к волшебным


Древний грек

Некий древний грек родился 7 января 40 года

до нашей эры, а умер 7 января 40
года нашей эры.

Сколько лет он прожил?

Ответ.

Древний грек прожил 79 лет.


День недели

В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа.

Какой день
недели был 20
-
го числа этого месяца?

Ответ.

Воскресенья в одном

месяце, чередуясь, выпадают на четные и
нечетные числа, а так как три из них выпали на четные чмсла, то всего в этом
месяце было 5 воскресений, поэтому первое из них могло быть только 2
-
го
числа, откуда 20
-
е число


четверг.


Пять воскресений

Может ли быт
ь в одном месяце пять воскресений?

Ответ:
Да, например, 1, 8, 15, 22, 29
-
е.


Какой сегодня день недели?


Известно, что "когда послезавтра станет вчера, то сегодня будет так же далеко
от воскресенья, как тот день, который был сегодня, когда вчера было завтр
а".

Какой
сегодня день недели?

Ответ.

Среда. Тогда "послезавтра станет вчера"
-

пятница, а "тот день,
который был сегодня, когда вчера было завтра"
-

понедельник.


Когда у Серика день рождения?



15

15


Серик как
-
то сказал: "Позавчера мне было 10 лет, а в будущем г
оду мне
исполнится 13 лет".

Когда у Серика день рождения?

Ответ.

День рождения Серика


31 декабря, а разговор происходил на
следующий день, то есть 1 января.

Приложение 1.2
.

Логические и олимпиадные задачи


Странный вопрос

Федя всегда говорит правду, а Са
ша всегда врет. Им задали один и тот же
вопрос, а они дали на него одинаковые ответы.

Могло ли такое быть?

Ответ:
Можно спросить: "Говорите ли Вы правду?" На этот вопрос и
правдивый человек, и лжец должны ответить "да".


На крыльце


Нa крыльце дома сидят р
ядом мальчик и девочка.

Саша говорит:




мальчик".

Женя говорит:




девочка".

Если, по крайней мере, один из детей врет, то кто из них мальчик, а кто
девочка?

Ответ:
Из того, что один из них врет, следует, что врет и второй.
Следовательно, Саша


де
вочка, а Женя


мальчик.


Три попугая

Один из попугаев
А
,
В
,
С

всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий
-

иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос: "Кто
В
?" они ответили:

А:



Лжец.

В:



Я хитрец!

С:



Абсолютно честный попугай.

Кто из попу
гаев лжец?

Ответ:
А

всегда говорит правду,
В



лжец,
С



хитрец.


Аборигены и пришельцы

На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда
говорят правду, пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров,
нанял туземца
-
острови
тянина в проводники. Они пошли и увидели другого
островитянина. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени
принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: "Туземец говорит, что он


абориген". Кем был проводник: пришельцем или абориге
ном?

Решение.

Из условия задачи ясно, что кем бы ни был встречный туземец, он назовет себя
аборигеном (абориген


потому что всегда говорит правду, пришелец


потому что
всегда лжет). Следовательно, проводник сказал правду и потому он принадлежит к
племени

аборигенов.

Ответ:
Проводник


абориген.



16

16






В сенате


В сенате страны рыцарей и лжецов


100 сенаторов. Каждый из них либо
рыцарь, либо лжец. Известно, что:

1) по крайней мере, один из сенаторов


рыцарь;

2) из двух произвольно выбранных сенаторов, по кр
айней мере, один


лжец.

Определите, сколько в сенате рыцарей и сколько лжецов?

Решение.

Только один из сенаторов


рыцарь. То, что хотя бы один рыцарь среди
сенаторов имеется, следует из первого утверждения, существование второго
рыцаря противоречит второ
му утверждению.

Ответ:
В сенате один рыцарь, остальные


лжецы.


Куда пропал доллар?


Три человека пообедали, заплатив 30 долларов (по 10 долларов за каждого) и
ушли. Через некоторое время повар заметил, что обсчитал их на 5 долларов, и послал
поваренка от
дать их. Поваренок отдал 3 доллара (по 1 доллару на каждого), а 2
доллара забрал себе.

Три раза по 9 долларов и 2 доллара у поваренка, получается 29 долларов.

Куда пропал доллар?

Решение.

Доллар никуда не делся. Произведем расчет. Обед стоил 25 долларов, м
альчик
оставил себе 2 доллара, поэтому обед клиентам обошелся в 27 долларов. 3 доллара им
вернули. Чтобы расчет был правильным, нужно к 27 долларам прибавить 3 доллара, а
не 2. Все сходится.

Ответ:
Доллар никуда не пропадал.



Рассеянные свидетели


Браун, Джонс и Смит


свидетели ограбления банка. Браун показал, что
преступники скрылись на синем "Бьюике". Джонс утверждал, что это был черный
"Крайслер", а Смит, что
это был "Форд", но не синий. По рассеянности, каждый из
них указал правильно либо только марку, либо только цвет машины.

На какой машине уехали преступники?

Решение.

Автомобиль не мог быть синим, так как иначе в показаниях и Смита, и Джонса
должна быть вер
но указана марка машины, что одновременно невозможно. Значит
Браун правильно указал марку машины, а Джонс и Смит верно указали цвет машины.
Следовательно, преступники уехали на черном "Бьюике".



17

17


Ответ:
Преступники уехали на черном "Бьюике".




Из протокола
допроса

Из протокола допроса трех известных
А
,
В

и
С

(фамилии гангстеров скрыты в
интересах следствия):

А:

1) Я не совершал преступления.

2) В день преступления меня не было в городе.

3) Преступление совершил
С
.

В:

1) Преступник


С
.

2) Если бы я совершил
преступление, я бы не сознался.

3) У меня и так много денег.

С:

1) Я не совершал преступления.

2) Я давно ищу хороший портфель.

3)
А

не было в городе в день преступления.

Известно, что преступление мог совершить только один из них. В ходе
следствия выяснил
ось, что из трех заявлений каждого гангстера два верных, а одно
неверное.

Кто совершил преступление?

Решение.

А



не преступник, ведь иначе его высказывания ложны, что противоречит
условию задачи.
С

тоже не преступник, иначе все три высказывания
А

были бы
истиной, что также противоречит условию задачи. Следовательно, преступник


В
.

Ответ:
Преступник


В
.


Дело Брауна, Джонса и Смита

Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них
сделал по два заявления:

Браун:

1) Я


не преступни
к.

2) Джонс


тоже.

Джонс:

1) Браун


не преступник.

2) Преступник


Смит.

Смит:

1) Преступник


Браун.

2) Я


не преступник.

В процессе следствия было установлено, что один их них дважды солгал,
другой дважды сказал правду, а третий


один раз солгал и од
ин раз сказал правду.
Кто совершил преступление?

Решение.
Преступником не может быть Джонс, так как в этом случае ни один
из подсудимых не солгал два раза, что противоречит условию задачи. Им не может


18

18


быть и Смит, так как в этом случае нет подсудимого, солг
авшего ровно один раз.
Единственно возможный вариант


преступление совершил Браун.

Ответ:
Преступление совершил Браун.


Кто участвовал в ограблении?


Известно, что из шести гангстеров ровно двое участвовали в ограблении. На
вопрос, кто участвовал в ограбл
ении, они дали следующие ответы:

Гарри:

Чарли и Джордж.

Джеймс:

Дональд и Том.

Дональд:

Том и Чарли.

Джордж:

Гарри и Чарли.

Чарли:

Дональд и Джеймс.

Поймать Тома не удалось.

Кто участвовал в ограблении, если известно, что четверо из гангстеров верно
назвал
и одного из участников ограбления, а один назвал неверно оба имени?

Решение.

Каждый отрезок на рисунке


это показания одного из гангстеров. Напрмер:
отрезок Чарли
-
Гарри


это показания Джорджа. У всех отрезков, кроме одного, одна
вершина соотвествует ган
гстеру, участвовавшему в ограблении, а вторая


не
учавствовавшему. В двух точках, которые соотвествуют преступникам, должны
сходиться ровно четыре отрезка.



Ответ.
Грабители


Чарли и Джеймс.




Задания для интеллектуального марафона «Олимпик» 5 класс


1) Вместо * подставить цифры, чтобы получилось 1 4 * * | * 7

верное равенство. Результат проверить умножением.
-

---
-----


* * 5 * *


------



* *


* 1



-------


0



19

19


2)

В двузначном числе количество десятков в 4 раза больше
ко
личества единиц, а сумма цифр этого числа равна наименьшему двузначному
числу. Что это за число?

3)

Ученик за 370
руб.

купил книгу, тетрадь, ручку и карандаш.
Тетрадь, ручка и карандаш стоят вместе 190
руб.
; книга, ручка и карандаш
стоят вместе 350
руб.

Тетр
адь и карандаш стоят вместе 50
руб
. Сколько стоит
каждый предмет?

4)

Встретились 3 друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник
Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой


брюнет, третий


рыжеволосый, но ни у одного нет волос того цвета, на
который указывает его
фамилия»,
-

заметил брюнет. «Ты прав»,
-

сказал Белов. Каков цвет волос у
художника?

Примечание
: брюнет


черноволосый, блондин


беловолосый.

5)

Зоина бабушка развела гусей и кроликов, у которых вместе 25 голов
и 54 лапки. Сколько гусей

и сколько кроликов у бабушки?


Приложение 1.3

Великие математики древности


Математические открытия великих греков

Зато древние греки щедро делились плодами своих научных трудов. Ни один
народ древности не сделал столько для развития современных наук и
искусств, как
жители Эллады и эллинистических государств.

Имя уроженца Самоса, философа и математика Пифагора, жившего в конце
VI

в. до н.э., известно и сейчас так же, как во времена Древней Греции и Древнего Рима.
В школе изучают знаменитую теорему Пифаго
ра о числовых соотношениях сторон в
прямоугольном треугольнике. Так называемые "пифагорейские" треугольники были
известны еще в Древнем Египте. Пифагорейскими называются такие подобные
треугольники, стороны которых соотносятся как 3:4:5, все они являются
п
рямоугольными. Египтянам знание этого соотношения помогало при вычислении
площадей прямоугольных земельных наделов. Пифагору же приписывают
установление более общего соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Теорема его имени гласит, что сумма квадра
тов катетов равна квадрату гипотенузы.

Опираясь на математические знания, Пифагор создал целое религиозно
-
философское учение, в котором число провозглашалось как основа всего
существующего мира. Все законы и устройство мира по Пифагору подчиняются
четким м
атематическим законам гармонии, заложенным в звучании небесных сфер
-

луны, солнца, пяти планет и звезд. Расстояние между сферами и издаваемые ими
звуки соответствуют гармоническим музыкальным интервалам. И в наши дни эта
теория гармонии космоса имеет свои
х приверженцев.

Открытия Пифагора, основанные на применении математических методов,
сыграли большую роль в развитии астрономии и географии. В частности, он одним из
первых утверждал, что Земля имеет шарообразную форму. Учился же Пифагор
математике в Египте

и Вавилоне. Считается, что он первым применил в геометрии
метод логического доказательства.



20

20


Начиная с Пифагора, в Древней Греции множество ученых занималось
геометрией. Здесь была открыта несоизмеримость диагонали и стороны квадрата: ни
один сколь угодно
малый отрезок не уместится целое число раз и на стороне квадрата
и на его диагонали. Желающие могут проверить сами. Величайший ученый Древней
Греции Аристотель тоже попробовал это проверить и от удивления стал философом,
а Платон, его учитель, утверждал, ч
то до того, как узнал о такой несоизмеримости, он
сам был подобен неразумному животному.

Измерить одинаковыми мерами (отрезками) сторону и диагональ квадрата
нельзя, зато любой квадрат можно легко построить по одной его стороне, в том числе
и по диагонали
квадрата. Поэтому древние греки применяли геометрический способ
записи многих математических выражений и формул, даже алгебраических.
Например, уравнение х
2

= а
b

на языке геометрии записывалось так: преобразовать
данный прямоугольник со сторонами а и
b

в к
вадрат.

Постепенно геометрия сложилась в Древней Греции как цельная наука,
основанная на строгих логических доказательствах
-

теоремах, опирающихся на
какие
-
то предположения, или фактах, принимаемых без доказательств,
-

аксиомах
или постулатах. Стройную на
учную теорию, приводящую геометрию к единой
системе, создал около 300 г. до н. э. величайший математик древности Евклид.

В своей книге "Начала" Евклид выбрал постулатами такие предложения и
аксиомы, в которых легко убедиться на примере простейших построени
й с помощью
циркуля и линейки или которые как бы сами собой разумеются. Например, такие:
через две точки всегда можно провести одну и только одну прямую линию; из данной
точки данным радиусом можно описать окружность; две параллельные прямые
никогда не пер
есекаются; две величины, порознь равные третьей, равны между
собой.

На основе этих постулатов и аксиом он вывел все основные положения раздела
геометрии о плоских фигурах
-

планиметрии, а с ее Помощью построил начала
алгебры и учение о квадратных уравнения
х. В той же книге он предложил метод
определения площадей и объемов разных фигур, заложив основы стереометрии, и
закончил свой труд учением о правильных многогранниках, которые являются
объемными фигурами, все грани которых, равные между собой,


многоугол
ьники.
Евклид доказал, что существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр,
куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Евклидова геометрия служила единственной основой всей математики вплоть
до изобретения в
XIX

в. новой неевклидовой геометрии Лобачевск
ого.

Вслед за Евклидом, уже обладая стройной теорией, греки эллинистических
государств совершили еще ряд выдающихся математических открытий. Аполлоний
из Перг, живший в 262
-
200 гг. до н. э. и заслуживший прозвище "великого геометра",
и Архимед Сиракузский
(287
-
212 гг. до н. э.) исследовали значение числа 71.
Архимед установил его значение как 3,1416.

Искусный изобретатель и основатель механики Архимед взялся однажды за
такую задачу, решить которую, казалось бы, могут только джины из сказки. И решил
ее. Архи
мед сосчитал все песчинки вселенной. Он написал целое сочинение,
посвященное решению этой задачи, называлось оно "Псаммит" ("Исчисление песка").
Конечно, Архимед ошибочно предполагал, что вселенная конечна и заключена
внутри сферы, на поверхности которой р
асположены звезды, но эта ошибка не может


21

21


умалить его достижений. Примерно оценив размеры такой вселенной, Архимед
предположил, что вся она заполнена песком, и показал, что этот песок можно
сосчитать. Главной заслугой Архимеда является то, что при подсчете

песчинок он
создал систему счета и записи больших чисел. Никто до него даже представить не
мог себе, что можно записать кратко такое большое число, которое отражает
несметное количество песчинок пусть и в ограниченной, но очень большой
вселенной. Архимед
для этого разбил все числа на разряды
-

октады. В первую
октаду входили все числа, меньшие мириада мириад, то есть от 1 до 108
-

1. Число
108 является единицей второй октады, в которую входят числа от 108 до 102
x
8
-

1.
Число 102
x
8 является единицей третьей

октады, и так далее до мириадо
-
мириадной.
Все октады Архимед объединял в первый период, вслед за которым начинался счет
октад следующего периода. Очевидно, что таким способом можно продолжать счет
до бесконечности, объединив периоды в какой
-
нибудь еще бол
ее емкий разряд.
Правда, Архимеду это не понадобилось, потому что его песчинки кончились раньше
-

еще в восьмой октаде первого периода.

После того, как Архимед совершил свой сказочный математический подвиг,
человечество уже не видело предела своим возможно
стям в познании.




Приложение 1.4

Знакомство с геометрией

1.

Сколько у куба ребер, вершин, граней?

2.

Из железных прутиков равной длины нужно спаять каркасную модель куба.
Сколько паек придется сделать?

3.

Назовите предметы окружающей среды, имеющий форму куба.

4.

Из
образите куб.

5.

На рисунке 11 изображены фигуры, являющиеся развертками некоторых
геометрических тел. Тонкие линии


это линии сгиба. Какие из фигур являются
разверткой куба?








а

б в


Рисунок 11

6.

Нарисуйте развертку куба с ребром 3 см в натуральную величину.
Попробуйте нарисовать несколько разверток. Проверьте себя
. Перенесите свои
развертки на лист бумаги, вырежьте развертки и сверните их в многогранники.

7.

На рисунке 12 изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Тонкие
линии


это линии сгиба. Мысленно сверните куб из развертки и определите, какая
грань является

верхней, если закрашенная грань


нижняя.





Рисунок 12



22

22


8. На рисунке 13 изображены куб и его развертка. Обозначьте на развертке
точки,
соответствующие вершинам А, В, С.


9. На рисунке 14 изображена фигура, являющаяся разверткой куба (тонкие
линии
-
это линии сгиба). Какие точки совместятся
с точкой А при

склеивании
развертки,
изображенной на рисунке?


10. На рисунке 15 (а


з) изображены фиг
уры, являющиеся развертками

некоторых
тел (тонкие линии
-

это
линии сгиба).

Какие

из
заготовок на

этом рисунке не могут
быть
развертками
куба и почему?


11. По каким ребрам можно разрезать куб (рис.16, а), чтобы получить
изображ
енную на рисунке 16б развертку? Нарисуйте куб в тетради и покажите
какую
-
нибудь линию разреза.


Рисунок 14

Рисунок 13

А

С

В

а)

б)

в)

г)

з)

д)

е)

ж)

Рисунок 15



23

23



12. Муха хочет пересечь все грани куба, чтобы удостовериться в отсутствии
паука. Начертите в тетради куб и его развертку, изображен
ную на рисунке 17.
Нанесите на
изображение куба один из возможных путей мухи. Покажите на
развертке
кратчайший
путь мухи по всем граням куба.


13. Сколько всего надо кубиков, чтобы сложить башню, изображенную на
рисунке
18?



Рисунок 1
7

Рисунок 1
6

O

А

С

В

D

K

M

N

Рисунок 18



24

24


Фигуры из спичек


1
. Из спичек построен "дом". Переложите 2 спички
так, чтобы он повернулся другой стороной:



Ответ:



2
. Составьте из 15
-
ти спичек фигуру, изображенную на рисунке. Переложите
теперь 2 спички так, чтобы образовалась фигура, составленная из пяти равных
квадратов:




Ответ.


3.

Переложите 4 спички таким образом, чтобы образовались три квадрата:


Ответ.













4.

В фигуре, изображенной на рисунке, переложите 5 спичек так, чтобы
получилось всего два квадрата:




25

25




Ответ.




5.

С помощью кусочков пластилина соорудили модель
пирамиды из шести спичек одинаковой длины и за
метили,
что в этой конструкции содержится четыре равных
равносторонних треугольника.

А нельзя ли выложить из тех же шести спичек четыре равных
равносторонних треугольника, расположенных в одной
плоскости?

Ответ.








6.

Из двух квадратов сделайте пять,

переложив
три спички:


Ответ.


7. Задачи со спичками
.




26

26


1) Положи 12 спичек так, чтобы получилось 5 квадратов.

2) В фигуре, построенной в предыдущей задаче, убери 4 спички так, чтобы осталось
два одинаковых квадрата.

3) В фигуре задачи № 1 убери 2 спички, чтобы осталось два квадрата разного
размера.



Приложение 1.5

Женщины математики

Софья Васильевна Ковалевская.

Софья Васильевна Ковалевская ( 1850


1891 гг.)

выдающийся русский
математик; первая в мире женщина


профессор и член


корреспондент
Петербургской академии наук.

Отец Софьи Ковалевской


Василий Васильевич Корвин


Круковский был
генерал
-
лейтенантом артиллерии; мать


Елизовета Федоровна


внучка известного
астронома академика Ф.Ф.Шуберта. Детство свое Софья Ковалевская провела в селе
Палибино, Витебской губернии, в имении своего отца. Пер
вым ее учителем по
высшей математике была самая обыкновенная стена детской комнаты, оклеенная
пожелтевшими листами литографированного курса высшей математики
М.В.Остроградского, по которому когда
-
то учился сам отец. Софья подолгу стояла у
этой загадочной с
тены, стараясь разобрать символы высшей математики, неведомый
ей язык дифференциального и интегрального исчисления. Она по
-
своему раскрывала
их содержание и запоминала на долгие годы. Для понимания некоторых формул
понадобилась тригонометрия, которую она п
остигла самостоятельно по учебнику
физики Н.П.Тыртова, подаренному отцу самим автором. Отец заметил тягу дочери к
математики и вскоре Софья стала брать уроки у известного педагога
А.Н.Страннолюбского.

На первых же занятиях с Софьей Страннолюбский был крайн
е удивлен тем, что
его ученица все примудрости высшей математики схватывала буквально на лету.
Создавалось впечатление, что все это она знает наперед. Так оно и было на самом
деле. Многое из того, объяснялось учителем, она усвоила давно.

Женщине было тяжел
о в дореволюционной России. В сущности она была
бесправным существом. Ее интересы обычно замыкались семейным очагом. Доступ
женщинам в высшие учебные заведения был запрещен. Так Софья Ковалевская не
могла в условиях царской России поступить в университет и

вынуждена была уехать
за границу. Женщин в университеты и там не принимали.

Сколько пришлось пережить и выстрадать, чтобы достигнуть цели! Чтобы
получить паспорт замужней женщины, который нужен был для выезда за границу,
она вступила в фиктивный брак с В.
О.Ковалевским.

Приехав в Берлин, Софья Ковалевская спешит послушать лекции всемирно
известного математика, профессора Берлинского университета Карла Вейерштрасса.
Ученый совет Берлинского университета не допускал женщин в свои стены, он не
сделал исключени
я и для Ковалевской. Тогда Софья решилась обратиться лично к
Вейерштрассу.

Вейерштрасс принял Софью Ковалевскую весьма холодно и, чтобы скорей
отвязаться от назойливой посетительницы, дал ей несколько трудных задач, надеясь,


27

27


что она не справится с заданием
. Однако, Софья справилась с задачами и после этого
Вейерштрасс согласился заниматься с ней частным образом. Вскоре Софья стала его
любимой ученицей.

Годы упорного труда закончились для Ковалевской тремя самостоятельными
научными исследованиями. За эти раб
оты в 1874 году Ковалевской была присужена
степень доктора философии “с наивысшей похвалой”. Ценой большого упорства и
настойчивости, преодолев трудности, Софья Ковалевская получила высшее
образование и даже ученую степень доктора. За границей она прослави
ла себя рядом
выдающихся открытий и в области математики стала знаменитостью.

Страстное ее желание вернуться на родину и работать на пользу русской науки
не было поддержано царским правительством. Ей дали понять, что в женщинах
-
профессорах царская Россия н
е нуждается.

Потеряв всякую надежду получить кафедру на родине, Ковалевская в 1883 году
по предложению видного шведского ученого
-
математика профессора Миттаг
-
Леффлера заняла должность приват
-
доцента в Стокгольмском университете.

В Швеции Софья Ковалевская
не только читает лекции, но и ведет научную
работу и занимается литературой.

В 1888 году С.Ковалевская закончила научную работу


“Задача о вращении
твердого тела около неподвижной точки”. Эта работа явилась подлинным научным
триумфом Ковалевской. Она реш
ила проблему, над которой ученые бились
безуспешно в течении многих лет.

В 1889 году Ковалевской была присуждена еще одна премия, на этот раз
Шведской академией наук, за вторую работу о вращении твердого тела.

П.Л.Чебышев в 1889 году совместно с академикам
и В.Г.Имшенецким и
В.Я.Буняковским добился избрания Ковалевской членом
-
корреспондентом
Российской академии наук.

10 февраля 1891 года на 42
-
м году жизни в расцвете своих творческих сил
Софья Ковалевская скончалась от воспаления легких. Мир потерял крупнейш
его
математика, литератора, борца за раскрепощение женщин.

Работы Ковалевской внесли огромный вклад в теорию дифференциальных
уравнений, теорию алгебраических функций, теоретическую и небесную механику.




П
риложение

1.6


Круги Эйлера, элементы комбинаторики и теории вероятностей




28

28


Пример 1.

На тарелке лежат 6 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно
выбрать тот или иной фрукт?


Решение.

По условию задачи яблоко можно выбрать шестью способами, а грушу


тр
емя. Так как

в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо груша», то, чтобы ответить на вопрос
задачи, необходимо сложить количество выборов этих фруктов, т.е. 6 + 3 = 9. Значит,
девятью способами можно выбрать один из фруктов.


Говорят, что в данном сл
учае задача решена по правилу суммы.


^ Правило суммы.

Если элемент
а

можно выбрать
т

способами, а элемент
b


n

способами, причем любой выбор элемента
а

отличается от любого выбора элемента

b
, то выбор «
а
или

b
» можно осуществить
способами.


Правило суммы и его следствие применяются для решения комбинаторных задач.
Часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций на попарно
н
е пересекающиеся группы комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой
группе и потом складывать получившиеся ответы.

1.В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков
нужно вынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались д
ва шарика одного
цвета?

Решение:

Здесь роль предметов играют шарики (М=?), роль ящиков
-

цвета (
N
=2).Чтобы
M

N
, т.е. в одном ящике оказалось два предмета, их должно быть больше двух, т.е.
М=3


2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте
берут
карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2
красных и не менее 3 синих?

Решение: Если предположить, что сначала будут попадаться только красные
карандаши, то для того, чтобы было 3 синих, нужно взять 7(красные)+3(
N
)=10.
Это
«худший» варианнт развития событий, т.к. красных карандашей больше.


3.В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и
неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из
мешка, чтобы среди них наверняка оказал
ись два шара 1) одного цвета, 2)разного
цвета, 3) белого цвета.

Решение:1)Если предположить, что предметы


шарики, которые нужно взять
(М=?), а количество ящиков
-

цвета
N
=2, то по принципу Дирихле М=3

2)если предположить, что сначала будут попадаться ша
ры только одного цвета,
то
N
=10,следовательно, М=11

3)если предположить, что все время будут попадаться шары черного цвета, то
М=12.





29

29


4.При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно
найдутся двое, у которых день и месяц рождения с
овпадают?

Решение: Дней в году
N
=365 или 366,то принципу Дирихле М= 366 или 367.


5.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600

000
иголок. Докажите, что в лесу найдутся хотя бы две елки с одинаковым числом
иголок.

Решение: Если

предположить, что у всех елок разное количество иголок, то
таких елок 600

000 (это ящики,
N
= 600

000), а по условию елок 1000 000=М, то
М>
N
,по принципу Дирихле найдутся хотя бы две елки «в одном ящике», т.те с
одинаковым количеством иголок.


6.В городе Са
нкт
-
Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у
каких
-
то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у
любого человека на голове не более миллиона волос.

Решение: Если предположить, что у всех людей разное количество во
лос, то
таких людей
N
=1000 000 (ящики), а по условию людей М=4

000

000. М>
N
, то по
принципу Дирихле найдутся хотя бы два человека в одинаковым количеством волос.


7.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом
ящике лежали яблоки к
акого
-
то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками
одного сорта?

Решение. 25:3=8 (ост.1). 25=8*3+1. к=3,
N
=8,
M

N
, то принципу Дирихле
найдутся хотя бы один ящик, в котором находятся более, чем к=3 предметов, т.е. 4
предмета.


8.На площадке 20 собак

восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не
менее трех собак одной породы.

Решение: 20:8=2(ост. 4), 20=8*2+4. к=2,
N
=8, М>
N
, то по принципу Дирихле
найдутся хотя бы три собаки одной породы.


9.В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отм
ечают свои дни
рождения не меньше, чем три ученика этого класса?

Решение: В году 12 месяцев. 27:12=2(ост.3), 27=12*2+3. к=2,
N
=12,
M

N
, то по
принципу Дирихле найдутся хотя бы три ученика, у которых дни рождения в одном
месяце.


Приложение 1.7

Математические

игры и головоломки.

Задачи и ребусы

1.

Вы


шофер автобуса. В автобусе первоначально было 23 пассажира. На первой
остановке вышло 3 женщины и зашло 5 мужчин. На второй остановке зашло 4
мужчины и вышло 7 женщин. Сколько лет шофёру?

2.

Продавая в магазине попуга
я, продавец пообещал, что попугай будет повторять
каждое услышанное им слово. Покупатель очень обрадовался, но, придя домой,


30

30


обнаружил, что попугай «нем как рыба». Тем не менее, продавец не лгал. Как
это могло быть?

3.

Петя решил купить Маше мороженое, но для

его покупки ему не хватило 30 т, а
Маше всего лишь 10 т. Тогда они решили сложить свои деньги, но опять не
хватило 10 т на покупку даже одного мороженого. Сколько стоила порция
мороженого? Сколько денег было у Пети?

4.

Я задумал число, умножил его на два, п
рибавил три и получил 17. Какое число
я задумал?

5.

Однажды черт предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь
через этот мост,
-

сказал он,
-

твои деньги удвоятся. Можешь переходить по
нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай
мне за это 24 т».
Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша.
Сколько денег у него было сначала?

6.

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает
другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем втор
ой мальчик
дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою
очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого
в этот момент. После этого у каждого из мальчиков, оказывается, по 8 яблок.
Сколько яблок был
о у каждого мальчика в начале?

7.

Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё
полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было
гусей?(
Половинка гуся сесть не может, следовательно, на каждом озере
садилось цел
ое число гусей.)



Ребусы





Ответ:
два



Ответ:
диагонал
ь





31

31



Ответ:
диаметр






Ответ:

дробь




Ответ:

числитель


Ответ: задача.






Ответ:
линей
ка








32

32




Ответ:
минус





Ответ:
отрезок



Числовые ребусы

Требует
ся расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры
заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые
-

одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным
правилам арифметики. В частности,

в записи числа первая слева цифра не является
цифрой 0; используется десятичная система счисления.


№1. Животноводческий ребус

Б + Б Е Е Е = М У У У

Решение:
Так как при сложении данных чисел цифра Е в разряде десятков
поменялась на цифру У, то суммой одн
означных чисел Б и Е является двузначное
число, начинающееся с единицы. Так как помимо увеличения на единицу цифры в
разряде десятков также изменилась и цифра в разряде сотен, то Е = 9, Б = 1, У = 0.

Ответ:
1 + 1999 = 2000.


№2
.

Коля и Оля


К + О + Л + Я =

О Л
-

Я


Расшифруйте при дополнительном условии: К + О + Л + Я = 21.

Расшифруйте без этого дополнительного условия (более 10 ответов).










33

33


Приложение 1.8

Итоговый зачет


1. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало
наиболь
шим.

2. Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить
за работу 5 рублей. Сколько будет стоить работа, если балку нужно разрезать на 10
частей?

3. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет
прод
олжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.

4.

На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя.
Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье
и Надей. Девочка в белом платье с
тоит между девочкой в розовом пл
а
тье и Валей.
Какое платье носит каждая из девочек?

5.
У Ивана имеется деревянный параллелепипед с измерениями 6 см, 12 см, 18
см. Он распиливает его на кубики с ребром 1 см и ставит их один на другой. Сможет
ли Иван достр
оить вышку из этих кубиков, если даже он заберется на трехметровую
лестницу.

6.

У щенят и утят вместе 44 ноги и 17 голов. Сколько щенят и сколько утят?

7.
Как, имея два сосуда вместимостью 5 л и 7 л, налить из водопроводного
кр
а
на 6 л?

8.
Вычислите: 1011
01 • 999
-
101 • 999 999.

9.
Разместите на трех грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных на
п
о
ловину, и 7 пустых бочек так, чтобы на всех грузовика
х был одинаковый по массе
груз.

10.
На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За
правил
ьный ответ ученику ставилось 12 очков, а за неправильный списывали 10
о
ч
ков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все
вопросы и набрал 86 очков?

11.
Из 9 монет


одна фальшивая, она легче остальных. Как за два
взвешивания н
а чашечных весах без гирь определить, какая монета фальшивая?

12.
Найдите сумму: 1 + 2 + 3 + ... + 111.

13.
Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько
страниц в этой книге?

14.
Вычислите площадь фигуры, изображенной на рис. 3

15
.
Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй


1
кружку, а у третьего крупы не было. Кашу же они съели все поро
вну. Третий охотник
и говорит:
«Спасибо за кашу! В благодарность я даю вам 5 патронов, но как их
поделить в соответствии с ваш
им вкладом в мою порцию к
а
ши?»










34

34


Приложение 2


Темы продуктивных рефератов.


1.

Числа
-

великаны и числа
-

малютки.

2.

Как люди научились считать .

3.

История календаря.

4.

Великие математики древности: Эратосфен, Архимед, Пифагор, Евклид, Фалес,
Эйлер. Жиз
нь, творчество, работы великих математиков, их вклад в развитии
математической науки.

5.

Женщины математики: Гипатия, Жермен Софи, Лавлейс Ада, Мария Аньези,
Софья Ковалевская, Любовь Запольская. Их жизнь и вклад в развитие
математики.

6.

Сказки о прямоугольник
е, о квадрате. Новоселье шара. Случай из жизни
плоскости. История о круглых братьях.

7.

Принцип Дирихле.

8.

Круги Элейра.






















35

35


Литература для учителя


1.

Абдрашитов Б.М. Учитесь мыслить нестандартно: кн. для учащихся/ Б. М.
Абдрашитов, Т.М. Абдрашитов
, В.Н. Шлихунов.


М. : Просвещение, 1996

2.

Акимова С. Занимательная математика / С. Акимова


СПб. : Тригон, 1997

3.

Баврин И.И. Занимательные задачи по математике / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус.


М. ВЛАДОС. 1999

4.

Гарднер М. Математические чудеса и тайны: математи
чексие фокусы и
головоломки / М. Гарднер.


М. Наука, 1982

5.

Кордемский Б.А. Математическая смекалка / Б.А. Кордемский.


М.: Оникс;
Альянс В, 2000

6.

Мархадаева Е.Л. Занятия математического кружка 5 класс Учебное пособие
для учащихся общеобразовательных учреж
дений/ Е.Л. Мархадаева М. :
Мнемозина 2012

7.

Перельман Я.И. Занимательная арифметика / Я.И. Перельман


М. Домодедово:
ВАП, 1994

8.

Соловейчик И.Л.

«Я иду на урок математики», Пособие для учителя
математики «Первое сентября» 2001 г

9.

Внеклассная работа в школе «О
тдыхаем с математикой», «Учитель» 2006г.
Волгоград

10.

«Математика 5
-
8 классы игровые технологии на уроках», Издательство
«Учитель»2007г Волгоград

11.

Газета «Математика в школе» Издательского дома «Первое сентября»

12.

Геометрия для младших школьников (из серии МПИ).

Издательство Томского
университета, 1998.

13.

Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии?


Журнал «Математика
в школе», №4,1991.

14.

Гусев В.А. Каким должен быть школьный курс геометрии?


Журнал
«Математика в школе», №3, 2002.математический, реальные асп
екты

15.

Макрюкова Н.Е. Фузионизм в школьной геометрии: истинный,
математический, реальные аспекты.


Брянск, издательство БГПУ, 2000.

16.

Подоходова Н.С. Развитие пространственного мышления учащихся 5
-
6 классов.


Журнал «Математика в школе», №2, 1997.

17.

Шарыгин И.
Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия.


М.: Мирос, 1995.

18.

Оникул П.Р. 19 игр по математике. С,
-

Петербург: Союз,1999.

19.

Фарков А.В. Математические кружки в школе 5
-
8 классы: Методическое
пособие для подготовки и проведения занятий школьного математическо
го
кружка.


Москва: «АЙРИС


ПРЕСС», 2005.

20.

Арнольд В.И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. Сборник задач для развития
культуры мышления.

Астана: «Дарын», 2008.

21.

Шевкин А.В. Школьная олимпиада по математике. Задачи и решения.


-

Москва: « Русское с
лово», 2004.

22.
Нестеренко

Ю
, Олехник

С., Потапов

М.. Лучшие задачи на смекалку. Москва:
АСТ


ПРЕСС,1999.

23.
Худодатова

Л.М. Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах,
криптограммах, 5 класс.


Москва: Школьная Пресса, 2002
.



36

36


Литература для учащихся


1.

Я.И Перельман Занимательная алгебра. Книга для вольного чтения.
-

Москва:
1975.

2.
Энциклопедия головоломок: Книга для детей и родителей.


Москва: АСТ


ПРЕСС,1999.

3.
Д.В. Клименченко. Задачи
по математике для любознательных
.



Москва
:

«Просвещ
ение» 1992.

4. В.А. Крутецкая. Математика 5
-
8 классы. Доклады, рефераты, сообщения.
-

СПб.: Издательский дом «Литера», 2007.

5. Н.В. Удальцова. Математические шарады и ребусы. Библиотечка «Первого
сентября» Серия «Математика». Выпуск 35.


Москва: «Чисты
е пруды», 2010.

6. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б. Гашков. Примени математику. Для
школьников и всех любителей математики.


Москва: «Наука», 1989.

7. Ю.М. Колягин. Учись решать задачи.
Книга для детей и родителей.


Москва:

«П
росвещение», 198


37

37



Приложенные файлы

  • pdf 12224242
    Размер файла: 784 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий