Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Олимпиадные задания по математике 10 класс.
При каких значениях параметра m уравнение 13 QUOTE 1415
Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4 см, b = 5 см. Вычислите площадь треугольника.
Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?
Постройте эскиз графика функции:.
Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Критерии оценивания.
10 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
8 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.
6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
4 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.
2 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.
0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Решение.
Задача №1
При каких значениях параметра m уравнение 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415ешение.
ОДЗ: х13 QUOTE 1415
1-й случай. Если 3m-2=0, то m = 13 QUOTE 1415 имеем m + 2 = 13 QUOTE 1415+213 QUOTE 1415 В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = 13 QUOTE 1415данное уравнение решений не имеет, то есть m = 13 QUOTE 1415
2-й случай. 3m-2 13 QUOTE 1415. Тогда х2 = 13 QUOTE 1415Так как х
·0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда 13 QUOTE 1415 Решая это неравенство, получим -213 QUOTE 1415m13 QUOTE 1415.
Так как в первом случае показано, что m = 13 QUOTE 1415, также удовлетворяет условию задачи, то получим 13 QUOTE 1415
Ответ: m
· [-2; 13 QUOTE 1415].
Задача №2.
Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см. Вычислите площадь треугольника.
Решение.13 QUOTE 1415 прямой
·.
Катет СB = 4 + 5 = 913 QUOTE 1415. Используя свойство
биссектрисы угла треугольника:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 теореме Пифагора AC 2 + CB2 = AB2 ;
AC2 + 81 =13 QUOTE 1415 AC2 ; 16AC2 + 1613 QUOTE 1415 81 = 25AC2 ;
16
· 81= 9 AC2 ; AC = 13 QUOTE 1415 = 1213 QUOTE 1415.
SABC = 13 QUOTE 1415 AC CB = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Ответ: 54см2
Задача №3
Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?
Решение.
Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а с горы - у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415 и b =13 QUOTE 1415 и решим систему уравнений:13 QUOTE 1415 Она имеет единственное решение
a = 13 QUOTE 1415, b = 13 QUOTE 1415. Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.
Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч.
Задача 4. Постройте эскиз графика функции:. Решение.
Отсюда график:

Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны. Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем приа=-1 является х=1. Подходит. Если а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется
. С учетом первого случая получаем ответ . Ответ
Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%? Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.
Ответ. Хватит.
Задача №7
В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Решение.
О – центр описанной окружности,
М – центр вписанной окружности,
АВ = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R.
Найдем площадь и периметр данного
треугольника. SABC = 13 QUOTE 1415 ACBD;
BD = 13 QUOTE 1415 = 3 , SABC = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 12
p = 13 QUOTE 1415113 QUOTE 1415.
R = 13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415;
OM = OB13 QUOTE 1415 + DM = R BD + r = 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415; R = 413 QUOTE 1415 OM = 2,5.

C

B

M

D

D

O

A

AF

B

C

D



Рисунок 2Рисунок 18Рисунок 16Рисунок 1315

Приложенные файлы

  • doc 12236570
    Размер файла: 494 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий