1. Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100. 2. Назовём натуральное число n удобным, если делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ,1000000 чётное число удобных.

2

1. Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.
2. Назовём натуральное число n удобным, если13 EMBED Equation.3 1415 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ...,1000000 чётное число удобных.
3. Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?
4. Сколько существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 7?
5. Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел. Докажите, что число (а) 13 EMBED Equation.3 1415; (б) 13 EMBED Equation.3 1415 не является точным квадратом.
6. Существует ли такое натуральное n, что 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 1955?
7. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 133 при любом натуральном n.

* * *
8. Пусть n – натуральное число такое, что 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.
9. Последовательность 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, ... натуральных чисел такова, что 13 EMBED Equation.3 1415 при всех n. 13 EMBED Equation.3 1415. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
10. Последовательность 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, ... натуральных чисел такова, что 13 EMBED Equation.3 1415 при всех n. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415 – составное число при любом 13 EMBED Equation.3
·
·
·

Приложенные файлы

  • doc 12365611
    Размер файла: 42 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий