как ещё Леонард Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашёл, что ??1000 ? 7,84, а ??1000000 ? 14,39. Методологический прагматизм превысила 100, необходимо просуммировать около 1043 элементов ряда. Серия: Философия.


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Ìàòåìàòè÷åñêèå ñòðóêòóðûèìîäåëèðîâàíèå 2018.1(45).Ñ.3036 ÓÄÊ510.2:101.1 DOI:10.25513/2222-8772.2018.1.30-36 ÌÅÒÎÄÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÉÏÐÀÃÌÀÒÈÇÌ ÏÐÎÁËÅÌÍÎ-ÎÐÈÅÍÒÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎÎÁÓ×ÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Í.Â.Ìèõàéëîâà ê.ô.í.,äîöåíò,e-mail:[email protected] Áåëîðóññêèéíàöèîíàëüíûéòåõíè÷åñêèéóíèâåðñèòåò, Ìèíñê,ÐåñïóáëèêàÁåëàðóñü Àííîòàöèÿ. Ñòàòüÿïîñâÿùåíàïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîìóîáó÷åíèþ âûñøåéìàòåìàòèêåíàîñíîâåïðîáëåìíîãîïîäõîäàêêîíêðåòíûìçàäà÷àì èèäååìåòîäîëîãè÷åñêîãîïðàãìàòèçìà,êîòîðàÿâûðàæàåòñÿâêðèòèêåèäåè àáñîëþòíîãîîáîñíîâàíèÿìàòåìàòèêèèîáðàçîâàòåëüíîéàðãóìåíòàöèè. Êëþ÷åâûåñëîâà: ìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçì,ïðîáëåìíîåîáó÷åíèå, ôèëîñîôèÿìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿ. Ââåäåíèå Ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîåîáó÷åíèåìàòåìàòèêåÿâëÿåòñÿïîñóòè ôèëîñîôñêî-ìàòåìàòè÷åñêîéðåàêöèåéíàäëèòåëüíûéïðîöåññäèôôåðåíöèà- öèèâîáîñíîâàíèèìàòåìàòè÷åñêèõòåîðèé,èåãîìîæíîîïðåäåëèòü,êàêâû- ÿâëåíèåöåëîñòíûõñâîéñòâñèñòåìûîáîñíîâàíèÿ,åäèíñòâîóðîâíåéèíòåãðà- öèèïðèäèôôåðåíöèàöèèíàïðàâëåíèéîáîñíîâàíèÿìàòåìàòèêèèÿâíîìäî- ìèíèðîâàíèèòåíäåíöèéïîíèìàíèÿñèñòåìíîéöåëîñòíîñòè.Ìåòîäîëîãè÷åñêèé ïðàãìàòèçìâîáîñíîâàíèèñîâðåìåííîéìàòåìàòèêèïðîÿâëÿåòñÿíåòîëüêîâ ïðèçíàíèèíåîáõîäèìîñòèðàçðàáîòêèíîâûõêîíöåïòóàëüíûõïîäõîäîâêîáîñ- íîâàíèþ,íîèâî¾âòîðè÷íîéêîíöåïòóàëèçàöèè¿ðàáîòàþùèõíàïðàâëåíèé îáîñíîâàíèÿ,íàïðèìåð,âûÿâëåíèèñèëüíûõñòîðîííàïðàâëåíèéôîðìàëèçìà èèíòóèöèîíèçìà.Ìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçììàòåìàòèêèèìååòñïåöèôè- ÷åñêóþïðèðîäó,÷òîïðèâîäèòêôèëîñîôñêîìóïåðåîñìûñëåíèþòàêèõìåòî- äîëîãè÷åñêèâàæíûõâôèëîñîôèèìàòåìàòèêèïîíÿòèé,êàê¾îáúåêòèâíîñòü¿, ¾èñòèííîñòü¿è¾ðàöèîíàëüíîñòü¿,íàõîäÿâíèõïðàêòè÷åñêèâïîëíåäîïóñòè- ìûåâãíîñåîëîãèèêîìïðîìèññíûåðåøåíèÿ.Îñíîâíàÿèäåÿìåòîäîëîãè÷åñêîãî ïðàãìàòèçìàîáîñíîâàíèÿñîâðåìåííîéìàòåìàòèêèíàõîäèòñâî¼âûðàæåíèåâ êðèòèêåèäåèàáñîëþòíîãîîáîñíîâàíèÿèïðàãìàòè÷åñêîéàðãóìåíòàöèè,ñîñòî- ÿùåéâòîì,÷òîèñïîëüçóåìûåíàïðàâëåíèÿîáîñíîâàíèÿñ÷èòàþòñÿïðîäóêòèâ- íûìè,åñëèîíèñîîòâåòñòâóþòýïèñòåìîëîãè÷åñêèîïðàâäàííîìóèìàòåìàòè÷å- ñêèîáîñíîâàííîìóêðèòåðèþ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçììàòåìàòèêèçàäà¼òâñîâîêóïíîñòèïðîáëåì- íîåïîëåñîâðåìåííûõèññëåäîâàíèéïîîáîñíîâàíèþìàòåìàòèêè,àïîñêîëüêó Ìàòåìàòè÷åñêèåñòðóêòóðûèìîäåëèðîâàíèå.2018.1(45) 31 ïðîáëåìàîáîñíîâàíèÿñîâðåìåííîéìàòåìàòèêèäîñèõïîðíåðåøåíà,òîïîïû- òàåìñÿñóçèòüýòóïðîáëåìó,ñîñðåäîòî÷èâøèñüíàïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîì îáó÷åíèè.Ñòî÷êèçðåíèÿìàòåìàòè÷åñêîãîçíàíèÿïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîå îáó÷åíèåìàòåìàòèêåâêëþ÷àåòâñåáÿíåñêîëüêîàñïåêòîâ:âî-ïåðâûõ,äîâå- äåíèåìàòåìàòè÷åñêèõòåîðèéäîïðèíÿòîãîñîâðåìåííîãîóðîâíÿñòðîãîñòè; âî-âòîðûõ,ïîëíîöåííàÿàðãóìåíòàöèÿñóùåñòâîâàíèÿíîâûõìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ;â-òðåòüèõ,ó÷¼òñàìîðàçâèòèÿìàòåìàòè÷åñêèõòåîðèéïðèðåøåíèè êîíêðåòíûõçàäà÷èèçáàâëåíèåèõîòâîçìîæíûõïðîòèâîðå÷èé.Âêîíòåê- ñòåïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãîîáó÷åíèÿçàìåòèì,÷òîâèñòîðèèñòàíîâëåíèÿ ìàòåìàòèêèíàä¼æíûìèïðåäñòàâëÿëèñüìàòåìàòè÷åñêèåòåîðèè,êîòîðûåñîîò- âåòñòâîâàëèðàçëè÷íûìóðîâíÿìòåîðåòè÷åñêîéñòðîãîñòè,ôîðìèðóþùèìñÿïîä âëèÿíèåìêðèòè÷åñêîéïîçíàâàòåëüíîéóñòàíîâêè,íàïðàâëåííîéíàïðàêòè÷å- ñêîåðåøåíèåìàòåìàòè÷åñêèõçàäà÷ïðèñèñòåìíî-öåëîñòíîìàíàëèçåìàòåìà- òè÷åñêèõçíàíèé. Ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîåîáó÷åíèåìàòåìàòèêå Èíòåðåñêïðîáëåìåâçàèìîäåéñòâèÿôèëîñîôèè,ìàòåìàòèêèèîáðàçîâàíèÿ îñîáåííîîñòðîïåðåæèâàåòñÿòîãäà,êîãäàâîçíèêàþòïðîáëåìíûåñèòóàöèè. Òîãäàîáðàùåíèåêôèëîñîôèèñòàíîâèòñÿâàæíûìêàêäëÿàíàëèçàðàçâè- òèÿìàòåìàòè÷åñêîãîçíàíèÿ,òàêèäëÿïîíèìàíèÿñâÿçàííûõñýòèìïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿ.Âèñòîðèèíàóêèïîäâåðãàëèñüèïðîäîëæàþò ïîäâåðãàòüñÿèçìåíåíèþðÿäñóùåñòâåííûõñòîðîííàó÷íîãîìûøëåíèÿ,÷òî äîëæíîíàéòèòàêæåîòðàæåíèåèâôèëîñîôèèìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿ. Ôèëîñîôèÿñîâðåìåííîãîìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿðåôëåêñèÿíàäîá- ðàçîâàíèåì,ðàññìàòðèâàþùàÿìàòåìàòè÷åñêîåîáðàçîâàíèåñïðîöåññóàëüíîé èññîäåðæàòåëüíîéñòîðîíû,ñïîñîáñòâóþùàÿðàçâèòèþêðèòè÷åñêîãîìûøëå- íèÿêàêîäíîãîèçïðîÿâëåíèéðåôëåêñèè,ïîñêîëüêóâóêàçàííîìêîíòåêñòåå¼ ìîæíîðàññìàòðèâàòüåù¼èêàêðåàëèçàöèþïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãîîáó- ÷åíèÿ.Ñóùíîñòüïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãîîáó÷åíèÿòðàäèöèîííîðàñêðû- âàåòñÿïåðåâîäîìñãðå÷åñêîãîñëîâà¾ïðîáëåìà¿,÷òîîçíà÷àåò¾çàäà÷à,âîïðîñ¿, ýòî¾ïðîáëåìíàÿñèòóàöèÿ¿,îáðàçîâàòåëüíûéýôôåêòðåàëèçàöèèêîòîðîéíå èìååòîäíîçíà÷íîãîðåøåíèÿ. Èçâåñòíî,÷òîïðèñòàíîâëåíèèìàòåìàòè÷åñêîãîçíàíèÿñòàëîÿâíîïðîÿâ- ëÿòüñÿâíóòðåííååïðîòèâîðå÷èåìåæäóåãîíåïîñòèæèìîýôôåêòèâíîéñïî- ñîáíîñòüþïîëó÷àòüêîíêðåòíûåìàòåìàòè÷åñêèåðåçóëüòàòûèôèëîñîôñêî- ìåòîäîëîãè÷åñêèìèòðóäíîñòÿìèèõîáîñíîâàíèÿ.Íîïðèïðåïîäàâàíèèâûñøåé ìàòåìàòèêèâó÷åáíóþëèòåðàòóðóñòàëïîñòåïåííîïðîíèêàòüñâîåîáðàçíûé ïðîôåññèîíàëüíûé¾ïàôîñîáîñíîâàíèÿ¿,÷òîïîñóòèîòâëåêàëîîòïîäëèí- íîãîñîäåðæàíèÿêëþ÷åâîãîïðåäìåòàâîáùåììàòåìàòè÷åñêîìîáðàçîâàíèè, çàòåìíÿÿèïðèãëóøàÿñâîéñòâåííûåàíàëèçóåñòåñòâåííîíàó÷íûåèïðàêòè- ÷åñêèåìîòèâèðîâêè.Âòàêîìêîíòåêñòåîñíîâíàÿöåëüïðîáëåìíîãîîáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêåñîñòîèòíåòîëüêîâïðîáóæäåíèèèíòåðåñàñòóäåíòîâêçàíÿòèÿì ìàòåìàòèêîé,íîèâíàïðàâëåíèèèõíàñàìîñòîÿòåëüíûåïîèñêèèñòèíûïðè ðåøåíèèïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûõçàäà÷,èñïîëüçóÿäëÿýòîãîñîáñòâåííûå 32 Í.Â.Ìèõàéëîâà.Ìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçì... èíòåëëåêòóàëüíûåèýìîöèîíàëüíûåðåñóðñû.Êàêîòìå÷àåòñïåöèàëèñòâîá- ëàñòèïðîáëåìíîãîîáó÷åíèÿâûñøåéìàòåìàòèêåÎ.Â.Çèìèíà:¾Âîáó÷åíèè,â îòëè÷èåîòïðîèçâîäñòâåííîéèèññëåäîâàòåëüñêîéäåÿòåëüíîñòè,ïðîáëåìíûå ñèòóàöèèïðèõîäèòñÿâûÿâëÿòü,ò.å.äåëàòüÿâíûìèèîùóòèìûìèäëÿó÷à- ùèõñÿ,âòîì÷èñëåíàóðîâíåýìîöèé¿[1,ñ.67].Äåëîâòîì,÷òîèçëèøíåå àêöåíòèðîâàíèåíààáñòðàêòíî-ëîãè÷åñêîéôîðìåèçëîæåíèÿìàòåìàòè÷åñêîãî ìàòåðèàëàïðèîáó÷åíèèìàòåìàòèêåâòåõíè÷åñêîìóíèâåðñèòåòåïðèâîäèòê èñêàæåíèþêîãíèòèâíûõïðàêòèêîáðàçîâàíèÿèêíàðóøåíèþìåòîäîëîãè÷å- ñêîãîáàëàíñàìåæäóðàöèîíàëüíûìèèýìîöèîíàëüíûìèñôåðàìèïðîáëåìíîãî îáó÷åíèÿ. Ïðîáëåìûîáó÷åíèÿèïîíèìàíèÿêàêàñïåêòûïîçíàâàòåëüíîéäåÿòåëüíî- ñòèàíàëèçèðîâàëÏëàòîí,ðàññìàòðèâàÿå¼âøèðîêîìñîöèàëüíîçíà÷èìîì êîíòåêñòå.Òàê,íàïðèìåð,ïðîöåññïîçíàíèÿÏëàòîíîìðàññìàòðèâàåòñÿíåêàê ñàìîñòîÿòåëüíàÿðàöèîíàëüíàÿäåÿòåëüíîñòü,àêàê÷àñòüñèñòåìûâîñïðèÿòèÿè ïîíèìàíèÿ,óáåæäåíèÿèîáó÷åíèÿ,ïîñêîëüêó,íåñìîòðÿíàåãîòåîðèþàíàìíå- çà,äëÿïîçíàíèÿìàòåìàòè÷åñêèõèäåéíåîáõîäèìàïîäñêàçêà.Ïîäîáíàÿïðî- áëåìàÑîêðàòàî¾çíàíèåâîìíåçíàíèè¿îáñóæäàëàñüâôèëîñîôñêîéëèòåðàòóðå ïîäíàçâàíèåì¾ïàðàäîêñÌåíîíà¿[2].Âçíàìåíèòîìäèàëîãå¾Ìåíîí¿Ïëàòîí óñòàìèÑîêðàòàóòâåðæäàåò,÷òî÷åëîâåê,íèêîãäàíåó÷èâøèéñÿìàòåìàòèêå,ñ ïîìîùüþõîðîøîïîäîáðàííûõâîïðîñîâìîæåòñàìîòêðûâàòüìàòåìàòè÷åñêèå èñòèíû.Ïîñóùåñòâó,ïðîáëåìíûéïîäõîäêîáó÷åíèþìàòåìàòèêåáåðåòñâî¼ íà÷àëîñîâðåì¼íÑîêðàòà,íîâñîâðåìåííîéïåäàãîãèêåïðàêòèêàïðîáëåìíîãî îáó÷åíèÿñòàëàðàçðàáàòûâàòüñÿâîâòîðîéïîëîâèíåÕÕñòîëåòèÿêàêàêòèâ- íàÿ¾òåõíîëîãèÿîáó÷åíèÿ¿.Ïåäàãîãè÷åñêèéìåòîäÑîêðàòàïîñóòèÿâëÿåòñÿ ñïîñîáîìâûÿâëåíèÿïðîáëåìíîéñèòóàöèè.Âåãîîñíîâåëåæèòëåêöèÿ-áåñåäà, êîãäàëåêòîðïðåäëàãàåòñëóøàòåëÿìêàêâåðíûå,òàêèíåâåðíûåïðîáëåìíûå èäåè,êîòîðûåïðèíèìàþòñÿèëèîïðîâåðãàþòñÿâõîäåáåñåäû.Ìàòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû,ñëåäóÿÑîêðàòó,ñòî÷êèçðåíèÿïðîáëåìíîãîîáó÷åíèÿ,ñëåäóåò èçëàãàòüíåòàê,êàêîíèïîÿâèëèñüèáûëèïðèäóìàíû,àòàê,÷òîáûïðèíàä- ëåæàùåéïîäãîòîâêåèõìîãïðèäóìàòüîáó÷àåìûéïîäðóêîâîäñòâîìîïûòíîãî ó÷èòåëÿ. Íî÷òîáûâîñïîëüçîâàòüñÿïåäàãîãè÷åñêèììåòîäîìÑîêðàòà,íåîáõîäèìî âñåæåçàíîâîïåðåîñìûñëèòüçàêîíîìåðíîñòèðàçâèòèÿìàòåìàòè÷åñêîãîçíà- íèÿèåãîîñíîâíûåìåòîäîëîãè÷åñêèåïðîáëåìû.Ñîâðåìåííûåòåîðèèìàòåìà- òèêèèòàêðåàëüíîî÷åíüñëîæíû.Âïðàêòè÷åñêîìñìûñëåôèëîñîôèþñîâðå- ìåííîãîìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿìîæíîîïðåäåëèòü,êàêñàìîñòîÿòåëüíóþ îáëàñòüôèëîñîôñêîãîçíàíèÿ,ïðåäìåòîìêîòîðîéÿâëÿþòñÿçàêîíîìåðíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿèðàçâèòèÿâàñïåêòàõîáðàçîâàíèÿ.Íåòàáñîëþòíîãîïî- íÿòèÿìàòåìàòè÷åñêîéñòðîãîñòè,òàêêàêýòîïîíÿòèåñóùåñòâåííîçàâèñèò îòîáëàñòèìàòåìàòè÷åñêèõèññëåäîâàíèé,íàïðèìåð,â÷èñòîéèëèïðèêëàä- íîéìàòåìàòèêåîíèðàçëè÷íû,ïîñêîëüêóâïðèêëàäíîéìàòåìàòèêåðàöèî- íàëüíûåðàññóæäåíèÿ,âîòëè÷èåîòäåäóêòèâíûõðàññóæäåíèé÷èñòîéìàòå- ìàòèêè,èìåþòíåìàëîåçíà÷åíèå,÷òîäîëæíîó÷èòûâàòüñÿïðèïðåïîäàâàíèè ìàòåìàòèêè.Ñòî÷êèçðåíèÿïðîáëåìíîãîîáó÷åíèÿìàòåìàòèêå¾ñòåðèëüíàÿ¿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüîïðåäåëåíèé,àêñèîìèòåîðåììîæåòèíîãäàîòòàëêèâàòü. Ìàòåìàòè÷åñêèåñòðóêòóðûèìîäåëèðîâàíèå.2018.1(45) 33 Ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîåîáó÷åíèåäàæåïðèðåøåíèèñòàíäàðòíûõçàäà÷ ñîäåðæèòðàçëè÷íûåìåòîäîëîãè÷åñêèåýòàïûïðîáëåìíîãîîáó÷åíèÿ,âêëþ÷àÿ âêà÷åñòâåíåîáõîäèìîéêîìïîíåíòûâûÿâëåíèåñìûñëàìàòåìàòè÷åñêèõïîíÿ- òèé.Íàïðèìåð,êîìïëåêñíîå÷èñëîïîñóùåñòâóèìååòðàçíûåñìûñëûâïðåä- ñòàâëåíèÿõ: ( a;b ) ,ãäåïàðàäåéñòâèòåëüíûõ÷èñåëíåñîäåðæèòèäåèìíèìîé åäèíèöû; a + ib ,íîâýòîéñóììåñìíèìîéåäèíèöåéíåïðîñìàòðèâàåòñÿèäåÿ âðàùåíèÿ; ae ib ,ãäåóæååñòüèäåÿâðàùåíèÿ,õîòÿâñåïåðå÷èñëåííûåñìûñëû ïî-ðàçíîìóõàðàêòåðèçóþòîäíóèòóæåìàòåìàòè÷åñêóþñòðóêòóðó,àèìåííî, ïîëåêîìïëåêñíûõ÷èñåë. Õîðîøèìïðèìåðîìñèíòåçàìàòåìàòè÷åñêîãîçíàíèÿèìåòîäîëîãèèÿâëÿ- åòñÿñòàíîâëåíèåôèëîñîôèèìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿ.Âòàêîìêîíòåêñòå çàñëóæèâàåòâíèìàíèÿïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííàÿïîçèöèÿ,ðàññìàòðèâàþùàÿ ïðåäìåòôèëîñîôèèìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿêàêñèíòåçîáùåôèëîñîô- ñêèõè÷àñòíûõíàó÷íûõ,ïðåæäåâñåãîïåäàãîãè÷åñêèõ,ïîäõîäîâêèçó÷åíèþ îáðàçîâàíèÿ,áàçèðóþùèõñÿíàíîâûõìåòîäè÷åñêèõïîäõîäàõêèçó÷åíèþçíà- íèÿ,òî÷íåå¾çíàíèÿîçíàíèè¿,òîåñòüêîãíèòèâíûõíàóê,âêîìïëåêñíîì ïîñòðîåíèèîáðàçîâàòåëüíîãîïðîöåññà.Ôèëîñîôñêàÿñóùíîñòüïðîáëåìíî- îðèåíòèðîâàííîãîîáó÷åíèÿñîâðåìåííîéìàòåìàòèêå,ïðåäïîëàãàþùåãîîáùåå àêöåíòèðîâàííîåâíèìàíèåíàïðîáëåìíîéçàäà÷íîéñèòóàöèè,îòðàæàåòïîçè- öèþðàáîòàþùèõìàòåìàòèêîâèìîæåòáûòüìåòîäîëîãè÷åñêèïðîÿñíåíàñëå- äóþùèìîáðàçîì:¾Ôàêòè÷åñêèïðèõîäèòñÿãîâîðèòüîïðàêòè÷åñêèõçàäà÷àõ èçàäà÷àõòåîðåòè÷åñêèõ,ïîñòàâëåííûõâðàìêàõîäíîéèòîéæåñèñòåìû.È îäíàèòàæåïðàêòè÷åñêàÿçàäà÷àçàñòàâëÿåòíàññòðîèòüðàçíûåôîðìàëü- íûåñèñòåìû.Èâîäíîéèçôîðìàëüíûõðåêîíñòðóêöèéýòîéïðàêòè÷åñêîé çàäà÷èìîæíîäîêàçàòü,÷òîîòâåòíåëüçÿïîëó÷èòü,àâäðóãîéôîðìàëüíîé ðåêîíñòðóêöèèýòîéæåïðàêòè÷åñêîéçàäà÷èîòâåòìîæíîïîëó÷èòü¿[3,ñ.52]. Ïîýòîìóñëåäóåòîáðàòèòüîñîáîåâíèìàíèåíàâçàèìîäåéñòâèåêîãíèòèâíûõ ïðàêòèê,äëÿêîòîðûõâñèñòåìåìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿâåäóùóþîáó÷à- þùóþðîëüèãðàåòöåëåïîëàãàþùèéâûáîðïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûõçàäà÷ ïðèäîñòèæåíèèîáðàçîâàòåëüíîéöåëè. Ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûéïîäõîä,íàïðèìåð,âîáîñíîâàíèèìàòåìàòè÷å- ñêîãîàíàëèçàïðåäïîëàãàåòóõîäîòæ¼ñòêîéäèõîòîìèè¾âíóòðåííååâíåø- íåå¿,òàêêàêñîâðåìåííàÿìàòåìàòèêàîáîñíîâûâàåòñÿíåñàìàïîñåáå,àâ ðàìêàõìàòåìàòè÷åñêèõòåîðèé.Ïðè¾îíòîäèäàêòè÷åñêîì¿àíàëèçåìàòåìàòè- ÷åñêèõäîêàçàòåëüñòâôîðìàëüíàÿñîñòàâëÿþùàÿíåäîëæíàïðåâàëèðîâàòüè íàñòàèâàòüíàîêîí÷àòåëüíîñòèôîðìàëüíûõâûâîäîâ,õîòÿìàòåìàòè÷åñêîåâû- ÷èñëåíèåïîñóòèíåðàçðûâíîñâÿçàíîñêîíêðåòíîâûáðàííîéôîðìàëèçàöèåé ìàòåìàòèêè.Òàê,íàïðèìåð,âîáùåìêóðñåìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçàäîêàçûâà- åòñÿ,÷òîãàðìîíè÷åñêèéðÿäôîðìàëüíîðàñõîäèòñÿ,ïîñêîëüêóåãî÷àñòè÷íûå ñóììû S n =1+1 = 2+1 = 3+1 = 4+ ::: +1 =n íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàþò,òàêêàêñóììà 2 k ÷ëåíîâãàðìîíè÷åñêîãîðÿäàáîëüøå÷åì 1+ k= 2 .Íîññîäåðæàòåëüíîéòî÷êè çðåíèÿíåîáðàùàþòâíèìàíèåíàòî,÷òîýòîòðÿäðàñõîäèòñÿî÷åíüèî÷åíü ìåäëåííî,òàêêàêåù¼ËåîíàðäÝéëåð,èçó÷àâøèéñâîéñòâàãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà,íàø¼ë,÷òî S 1000  7 ; 84 ,à S 1000000  14 ; 39 .Äàæåñó÷¼òîìêîìïüþòåðíûõ ìîùíîñòåéäëÿòîãî÷òîáû,íàïðèìåð,÷àñòè÷íàÿñóììàãàðìîíè÷åñêîãîðÿäà 34 Í.Â.Ìèõàéëîâà.Ìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçì... ïðåâûñèëà 100 ,íåîáõîäèìîïðîñóììèðîâàòüîêîëî 10 43 ýëåìåíòîâðÿäà.Ýòîò ïðèìåðãîâîðèòîìåòîäîëîãè÷åñêîéðîëèïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãîîáó÷å- íèÿâðåàëüíîéïðàêòèêåìàòåìàòè÷åñêèõâû÷èñëåíèé.Çàìåòèìòàêæå,÷òîïðè èñïîëüçîâàíèèêîìïüþòåðàíàäîèìåòüââèäó,÷òîîííåòîëüêîìîæåòïî- ìî÷üâûÿâèòü,íîòàêæåèñêðûòüðàññìîòðåííûé¾âû÷èñëèòåëüíûéôåíîìåí¿ ãàðìîíè÷åñêîãîðÿäà.Â÷àñòíîñòè,ðå÷üèäåòîòîì,÷òîïðèêîìïüþòåðíîìâû- ÷èñëåíèè÷àñòè÷íûõñóììãàðìîíè÷åñêîãîðÿäàïîëó÷àåòñÿíåáåñêîíå÷íîñòü, àâñåæåíåêîòîðîå÷èñëî,êîòîðîå,ñòðîãîãîâîðÿ,òåìáîëüøå,÷åììåíüøå ¾ìàøèííûéíîëü¿. Àâ÷åìñîáñòâåííîñîñòîèòïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííàÿçàäà÷àâîáðà- çîâàòåëüíîìêîíòåêñòå?żñóòüâòîì,÷òî,åñëèíåêîòîðûåìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿÿâëÿþòñÿàáñîëþòíîî÷åâèäíûìèäëÿïðîôåññèîíàëüíûõìàòåìà- òèêîâ,òîäëÿñòóäåíòîâ,èçó÷àþùèõêóðñâûñøåéìàòåìàòèêè,îíèóæåìî- ãóòïðåäñòàâëÿòüñåðü¼çíûåòðóäíîñòè,îñîáåííîäëÿíåêîòîðûõñòóäåíòîâñ èçíà÷àëüíîñëàáîéìàòåìàòè÷åñêîéïîäãîòîâêîé.Ñëåäóåòòàêæåïîä÷åðêíóòü ñïåöèôèêóäàæåêðàòêîãîêóðñàâûñøåéìàòåìàòèêè,ñîñòîÿùåãîíåòîëüêî èçîïðåäåëåíèéïîíÿòèéèäîêàçàòåëüñòâèõñâîéñòâ,íîèçàêëþ÷àþùåãîñÿ âïîíèìàíèèâçàèìîñâÿçåéìåæäóíèìè.Âñîâðåìåííîìêóðñåâûñøåéìàòå- ìàòèêèíàðÿäóñâîïðîñàìèèññëåäîâàòåëüñêîãîïëàíàìîãóòáûòüïîñòàâëå- íûïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûåçàäà÷èòåêóùèõèññëåäîâàíèéìàòåìàòèêîâ,à òàêæåìåòîäîëîãè÷åñêèåçàäà÷è,íàïðàâëåííûåíàâûÿâëåíèåêóëüòóðíîãîïî- òåíöèàëàìàòåìàòèêè[4].Ìîæíîêîíñòàòèðîâàòü,÷òîìàòåìàòè÷åñêèåêóðñû âñòóïèëèñåé÷àñâïîðóñâîåéìåòîäîëîãè÷åñêîéçðåëîñòè,ïîñêîëüêóñòàëè óæåíåòîëüêîïðåäìåòîììàòåìàòè÷åñêèõèññëåäîâàíèéèìåòîäîëîãè÷åñêèì èíñòðóìåíòàðèåììíîãèõïðèìåíåíèéèïðèëîæåíèé,íîèôóíäàìåíòàëüíîé ó÷åáíîéäèñöèïëèíîé,ïîñóòèóêàçûâàþùåéíàâîñòðåáîâàííîñòüïðîáëåìíî- îðèåíòèðîâàííîãîïîäõîäàêîáó÷åíèþâûñøåéìàòåìàòèêå. Ïðîáëåìíîåîáó÷åíèå,ÿâíîèñïîëüçóþùååïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîå îáîñíîâàíèåñîâðåìåííîãîìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà,ïîêàçûâàåò,÷òîäëÿòîãî, ÷òîáûîáðàçîâàíèåáûëîïîëíîöåííûì,îíîíåäîëæíîñâîäèòüñÿòîëüêîêôîð- ìàëüíîìóèçó÷åíèþìàòåìàòè÷åñêîãîàïïàðàòà,íàïðèìåð,êîãäàñîçíàòåëüíî íåïûòàþòñÿîáîéòèïîðî÷íûéêðóã,âêðàäûâàþùèéñÿâòðàäèöèîííûéâûâîä ïåðâîãîçàìå÷àòåëüíîãîïðåäåëà;òîåñòüåñëè x ! 0 ,òîîòíîøåíèå sin( x ) =x ñòðåìèòñÿê 1 ,òðàäèöèîííîåäîêàçàòåëüñòâîêîòîðîãîíà÷èíàåòñÿñóñòàíîâ- ëåíèÿïðè 0 j x j = 2 íåðàâåíñòâà sin j x j j x j tg j x j .Ñòàíäàðòíîåîáîñ- íîâàíèåýòèõèñõîäíûõíåðàâåíñòâîñíîâûâàåòñÿíàèíòåðïðåòàöèèâåëè÷èíû j x j = 2 êàêïëîùàäèñåêòîðàåäèíè÷íîãîêðóãà,îïèðàþùåãîñÿíàäóãóäëèíû j x j . ¾Äàííîåîáîñíîâàíèå(ïðîâîäèìîåâðàìêàõíà÷àëüíîé÷àñòèêóðñàìàòåìàòè- ÷åñêîãîàíàëèçà)ñîäåðæèòêëàññè÷åñêóþîøèáêó¾ïîðî÷íîãîêðóãà¿("circulus vitiosus"),êîòîðóþìíîãèåâèäÿò,íîïðåäïî÷èòàþòíåçàìå÷àòü¿[5,ñ.34]. Çàìåòèì,÷òî,âìàòåìàòè÷åñêîìàíàëèçå,âîòëè÷èåîòãåîìåòðèè,òðèãîíî- ìåòðè÷åñêèåôóíêöèèðàññìàòðèâàþòñÿêàêôóíêöèè÷èñëîâîãîàðãóìåíòà,à èìåííî,ââèäåðàäèàííîéìåðûóãëà,ïîýòîìóââûðàæåíèè sin( x ) =x ðå÷üèä¼ò îñèíóñå÷èñëà x êàêñèíóñåóãëàâ x ðàäèàí,ãäåðàäèàí,ïîîïðåäåëåíèþ,êàê åäèíèöàèçìåðåíèÿýòîöåíòðàëüíûéóãîë,âûñåêàþùèéäóãóðàâíóþðàäèóñó Ìàòåìàòè÷åñêèåñòðóêòóðûèìîäåëèðîâàíèå.2018.1(45) 35 îêðóæíîñòè.Ïðîáëåìàñîñòîèòâñëåäóþùåì:÷òîáûïîñ÷èòàòüïëîùàäüêðóãî- âîãîñåêòîðà,íàäîâîñïîëüçîâàòüñÿòåìæåñàìûìïðåäåëüíûìñîîòíîøåíèåì, êîòîðîåäîêàçûâàåòñÿ,àýòîèåñòü¾ïîðî÷íûéêðóã¿. Çàêëþ÷åíèå Ìîæíîëèãîâîðèòüîâîçìîæíîñòèñèíòåçàðàçíûõìåòîäèêïðîáëåìíîãî îáó÷åíèÿèïðèíÿòîéòðàäèöèîííîéäèäàêòè÷åñêîéñèñòåìûìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ?Ìîæíîèíåîáõîäèìî,åñëèïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííàÿñèñòåìà îáó÷åíèÿìàòåìàòèêåñî÷åòàåòñÿñîðãàíèçàöèåéòâîð÷åñêîéäåÿòåëüíîñòèíà âñåõâèäàõëåêöèîííûõèïðàêòè÷åñêèõçàíÿòèé.Äëÿýòîãîíåîáõîäèìàèí- òåãðàöèÿèëèñèíòåçìåòîäîëîãè÷åñêèõ,ìåòîäè÷åñêèõèäèäàêòè÷åñêèõïðèí- öèïîâïðîáëåìíîãîîáó÷åíèÿìàòåìàòèêå.Ôèëîñîôñêàÿðåôëåêñèÿíàäèäåÿìè èìåòîäàìèïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãîîáó÷åíèÿìàòåìàòèêåïîçâîëÿåòñ÷è- òàòü,÷òîòàêîéñèíòåçâîçìîæåíïðèâûïîëíåíèèðÿäàóñëîâèé.Õîòÿöåëè ìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿâôèëîñîôñêîìêîíòåêñòå¾ìàòåìàòè÷åñêîéîá- ðàçîâàííîñòè¿ïîäâèæíûâîâðåìåíè,îñíîâíîéöåëüþìàòåìàòè÷åñêîãîîáðà- çîâàíèÿâêîíòåêñòåìåòîäîëîãè÷åñêîãîïðàãìàòèçìàäîëæíîñòàòüâîñïèòàíèå óìåíèÿìàòåìàòè÷åñêèèññëåäîâàòüïðàêòè÷åñêèåçàäà÷è.Ïðîáëåìíàÿñèòóà- öèÿâïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîìîáó÷åíèèñîçäà¼òñÿïóò¼ìôîðìóëèðîâàíèÿ òåîðåòè÷åñêèõóòâåðæäåíèéââèäåçàäà÷,äëÿðåøåíèÿêîòîðûõíåîáõîäèììå- òîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçì. Ïðèïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîìîáó÷åíèèíåîáõîäèìîó÷èòûâàòüòàêæå òî,÷òî¾íåòðèâèàëüíîåðåøåíèå¿ìîæíîíàéòè,÷àùåâñåãî,¾ïðîõîäîì÷å- ðåçîøèáêó¿,ïîñêîëüêóâûïîëíèòüâñåîãðàíè÷åíèÿïðèðåàëèçàöèèêîíöåï- öèèîáîñíîâàíèÿïîðîþâîçìîæíî,ëèøüâûõîäÿçàèõïðåäåëû,êîìïåíñèðî- âàâýòèìñäåëàííûåîøèáêè.ÂñïîìèíàÿçíàìåíèòûåäîêëàäûÀíðèÏóàíêà- ðåèÄàâèäàÃèëüáåðòàíàïåðâîìèâòîðîìÌåæäóíàðîäíûõìàòåìàòè÷åñêèõ êîíãðåññàõ,âìàòåìàòèêåÕÕâåêàìîæíî,ñëåäóÿèì,âûäåëèòüñëåäóþùèå äâåîñíîâíûåëèíèè:¾ëèíèþÏóàíêàðå¿,ñâÿçàííóþñðàçâèòèåììàòåìàòè- êèâåñòåñòâåííîíàó÷íîéîáëàñòè,è¾ëèíèþÃèëüáåðòà¿,îðèåíòèðîâàííóþíà âíóòðåííååðàçâèòèåìàòåìàòèêè.Íîãåíåçèñðàçâèòèÿìàòåìàòèêèïîçâîëÿåò ñåé÷àñãîâîðèòüåù¼èîòðåòüåéëèíèè,êîòîðóþìîæíîíàçâàòü¾ïðîáëåìíî- îðèåíòèðîâàííîé¿.Ïîýòîìóìîæíîçàêëþ÷èòü,÷òîìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìà- òèçìïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãîîáó÷åíèÿìàòåìàòèêåèìååòñïåöèôè÷åñêóþ ïðèðîäó,÷òîïðèâîäèòêôèëîñîôñêîìóïåðåîñìûñëåíèþòàêèõìåòîäîëîãè÷å- ñêèâàæíûõâôèëîñîôèèñîâðåìåííîéìàòåìàòèêèïîíÿòèé,êàê¾îáúåêòèâ- íîñòü¿,¾èñòèííîñòü¿,¾ðàöèîíàëüíîñòü¿,íàõîäÿâíèõïðàêòè÷åñêèâïîëíåäî- ïóñòèìûåâãíîñåîëîãèèêîìïðîìèññíûåðåøåíèÿ. Ë ÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 1. ÇèìèíàÎ.Â.Ïðîáëåìíîåîáó÷åíèåâûñøåéìàòåìàòèêåâòåõíè÷åñêèõâóçàõ// Ìàòåìàòèêàââûñøåìîáðàçîâàíèè.2006.4.Ñ.5578. 36 Í.Â.Ìèõàéëîâà.Ìåòîäîëîãè÷åñêèéïðàãìàòèçì... 2. ÌèõàéëîâàÍ.Â.Ìåòîäîëîãè÷åñêèéïàðàäîêñÑîêðàòàâôèëîñîôèèìàòåìàòè÷åñêî- ãîîáðàçîâàíèÿ//Ïåäàãîãèêà.2016.4.Ñ.1218. 3. Ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûéïîäõîäêíàóêå:ôèëîñîôèÿìàòåìàòèêèêàêêîíöåï- òóàëüíûéïðàãìàòèçì.Íîâîñèáèðñê:Íàóêà,2001.154ñ. 4. ÌèõàéëîâàÍ.Â.Êóëüòóðíûéïîòåíöèàëìàòåìàòèêèâêîíòåêñòåôèëîñîôèèìàòå- ìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿ//ÂåñòíèêÂîðîíåæñêîãîãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ:Ôèëîñîôèÿ.2016.1.Ñ.5558. 5. ØâåäåíêîÑ.Â.Äâåçàìåòêèïîìàòåìàòè÷åñêîìóàíàëèçó//Ìàòåìàòè÷åñêîåîá- ðàçîâàíèå.2011.34.Ñ.3437. [email protected] BelarusianNationalTechnicalUniversity, Minsk,RepublicofBelarus Abstract. Articleconsidersproblem­orientedtraininginthehighermathematics, problematicapproachtospecificobjectivesandtheideaofmethodologicalpragma­ tism.Themethodologicalpragmatismisexpressedincriticismoftheideaofabsolute justificationofmathematicsandtheeducationalargument. Keywords: methodologicalpragmatism,problemtraining,philosophyofmathemati­ caleducation. Äàòàïîñòóïëåíèÿâðåäàêöèþ:25.08.2017

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