Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в ортонормированном базисе. Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие.

Программа курса "Алгебра и геометрия",
мехмат ЮФУ, 1 курс, 1-2 группы, 2 семестр 2014/15 уч.года
Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Векторы, основные определения и свойства. Скалярное произведение векторов, определение и свойства. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе. Тройка векторов. Правые и левые тройки. Векторное произведение векторов, определение и простейшие свойства. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение как ориентированный объем. Критерий компланарности векторов. Свойства смешанного произведения. Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в ортонормированном базисе. Двойное векторное произведение, его вычисление (без док-ва).
Аналитическая геометрия в пространстве. Понятие об уравнениях поверхности и линии в пространстве. Теоремы об уравнении плоскости в пространстве, неполные уравнения, уравнение «в отрезках». Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Взаимное расположение плоскостей, угол между ними. Пучок плоскостей; теорема о пучке, задаваемом двумя плоскостями (без доказательства). Связка плоскостей. Теорема о связке, определяемой тремя плоскостями. Нормальное уравнение плоскости, отклонение и расстояние от точки до плоскости.
Прямая линия в пространстве. Способы задания прямой линии. Угол между прямыми линиями, условие параллельности и перпендикулярности. Угол между прямой и плоскостью, условие параллельности и перпендикулярности, взаимное расположение прямой линии и плоскости. Формулы расстояний.
Поверхности второго порядка, их исследование с помощью сечений.
Определение линейного пространства; примеры линейных пространств, простейшие свойства линейных пространств. Система векторов; подсистема. Линейная комбинация векторов. Векторная интерпретация систем линейных уравнений. Линейно зависимая и линейно независимая система. Критерий обращения определителя в ноль. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (система, состоящая из одного вектора; критерий для системы, содержащей более одного вектора; случай системы из двух векторов; система, содержащая линейно зависимую подсистему; подсистема линейно независимой системы; добавление вектора к линейно независимой системе; второй критерий линейной зависимости и др.). Полная система, ее свойства, основная лемма.
Размерность линейного пространства. Определение конечномерного и бесконечномерного линейного пространства; размерность пространства Fn. Базис; теорема существования базиса, следствие. Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие. Размерность декомплексификации. Теоремы о соотношении базиса линейно независимой и полной системы, критерий конечномерности линейного пространства. Координаты вектора, их единственность, свойства. Матрица перехода. Преобразование координатных векторов при замене базиса. Свойства матрицы перехода. Алгоритм вычисления матрицы перехода.
Подпространство, критерии и примеры. Линейная оболочка и ее свойства. Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Прямая сумма; теорема о разложении пространства в прямую сумму. Свойства размерности подпространств (соотношение размерностей подпространства и пространства; размерность суммы подпространств; критерий разложения конечномерного пространства в прямую сумму подпространств, о тривиальности пересечения).
Максимальная линейно независимая подсистема. Максимальная линейно независимая подсистема как базис линейной оболочки; следствие об инвариантности числа элементов максимальной линейно независимой подсистемы. Ранг системы векторов; простейшие свойства. Ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы при ее транспонировании. Минор матрицы; теорема о связи ранга матрицы с ее минорами. Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях ее столбцов и строк. Ступенчатая форма матрицы; теорема о ранге матрицы ступенчатой формы, следствия. Теорема о ранге произведения матриц; следствие об умножении на обратимую матрицу. Критерий совместности системы линейных уравнений (Кронекера и Капелли). Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений и ее подпространство решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Скалярное произведение; определение евклидова пространства. Теорема существование скалярного произведения в произвольном конечномерном линейном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского, примеры. Норма в евклидовом пространстве; свойства нормы. Расстояние в евклидовом пространстве; свойства расстояния. Угол между векторами.
Ортогональность векторов; свойства отношения ортогональности, теорема Пифагора. Ортогональная система векторов и ее линейная независимость. Нормированный вектор; нормирование вектора. Ортонормированная система векторов. Свойства ортонормированных базисов. Процесс ортогонализации, теорема о равенстве линейных оболочек. Следствие существования ортонормированного базиса.
Ортогональные матрицы, свойства. Критерий ортогональности матрицы. Теоремы об ортогональности матрицы перехода.
Ортогональность вектора множеству; ортогональное дополнение. Свойства ортогонального дополнения. Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Алгоритм нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей, матрица Грама. Расстояние от элемента до конечномерного подпространства. Унитарные пространства, унитарные матрицы (обзорно).

Литература
Учебники
Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии.
П.С. Моденов. Аналитическая геометрия.
А.Г. Курош. Курс высшей алгебры.
А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра.
Л.А. Калужнин. Введение в общую алгебру.
А.В. Козак, В.С. Пилиди. Линейная алгебра.
В.Д. Кряквин. Линейная алгебра в задачах и упражнениях.
Заголовок 115

Приложенные файлы

  • doc 11285384
    Размер файла: 39 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий