Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3»
муниципального образования городской округ Красноперекопск Республики Крым
НЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ОЛИМПИАДАМ
(МАТЕРИАЛ К ПРАКТИКУМУ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ГМО ГОРОДА КРАСНОПЕРЕКОПСКА)
Подготовила:
Борисовская И.С.,
учитель математики

Красноперекопск, 2016



















Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение.

Задание а). Обозначим центры окружностей О1 и О2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке К пересекает АВ в точке М. По свойству касательных, проведённых из одной точки, АМ=АК и. КМ=ВМ. Треугольник  АКВ, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол АКD прямой, поэтому он опирается на диаметр АD.  Значит, АD перпендикулярно АВ.  Аналогично получаем, что ВС перпендикулярно АВ. Следовательно, прямые АD  и ВС параллельны.
Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники  ВКС и АКD подобны,  АD:ВС=DК:КВ. ПустьSBKC=S , тогда SAKD=16S.
У треугольников AKD и AKB  общая высота, следовательно, SAKD:SAKB=DK:KB=AD:BC то есть  SAKB =4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD.  Проведём к AD перпендикуляр O2H,  равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1 :
O2H2=O1O22-O1H2=16, O2H=4.
Тогда
SABCD = (AD+BC)*AB/2=
 
Следовательно, 25S=20 откуда S=0,8 и SAKB=4S=3,2
 
Ответ: 3,2.


Приложенные файлы

  • docx 13604206
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий