1. Найдите все четырехзначные числа, у которых сумма первых трех цифр равна 19, а сумма последних трех цифр равна 27.
2. Трое человек при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получил чужую шляпу?
3. Сторона ВС параллелограмма АВСD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.
4. В клетках квадратной таблицы 13 EMBED Equation.3 1415 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 - суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 любые два соседних числа различаются ровно на 1?
5. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.
6. Егор хотел купить на рынке 2 огурца, 3 помидора и 6 луковиц. Однако он все перепутал и купил 2 луковицы, 3 огурца и 6 помидоров, затратив в точности запланированную сумму. Расположите огурец, помидор и луковицу в порядке возрастания цены, если известно, что огурец дороже помидора.
7. В телесериале ``Тайна Санта-Барбары" участвуют 36 героев. В каждой новой серии происходит хотя бы одно из следующих событий: либо кто-то из героев узнает тайну, либо кто-то узнает, что кто-то из героев не знает тайны, либо кто-то узнает, что кто-то из героев знает тайну. Может ли показ сериала длиться не менее семи лет, если каждый день будет демонстрироваться новая серия?
8. Имеется три конверта, на один из которых нужно наклеить марку. В каждом конверте содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны, в другом оба ложны, а в третьем конверте одно утверждение истинно, а другое ложно. Вот эти утверждения:
Конверт 1
1.1. На этот конверт не нужно наклеивать марку.
1.2. Обязательно нужно наклеить марку на второй конверт.
Конверт 2
2.1. Не нужно наклеивать марку на первый конверт.
2.2. Необходимо наклеить марку на третий конверт.
Конверт 3
3.1. Не следует наклеивать марку на этот конверт.
3.2. Требуется наклеить марку на первый конверт.
Определите, на какой конверт нужно наклеить марку.
1. Найдите все четырехзначные числа, у которых сумма первых трех цифр равна 19, а сумма последних трех цифр равна 27.
2. Трое человек при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получил чужую шляпу?
3. Сторона ВС параллелограмма АВСD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.
4. В клетках квадратной таблицы 13 EMBED Equation.3 1415 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 - суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 любые два соседних числа различаются ровно на 1?
5. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.
6. Егор хотел купить на рынке 2 огурца, 3 помидора и 6 луковиц. Однако он все перепутал и купил 2 луковицы, 3 огурца и 6 помидоров, затратив в точности запланированную сумму. Расположите огурец, помидор и луковицу в порядке возрастания цены, если известно, что огурец дороже помидора.
7. В телесериале ``Тайна Санта-Барбары" участвуют 36 героев. В каждой новой серии происходит хотя бы одно из следующих событий: либо кто-то из героев узнает тайну, либо кто-то узнает, что кто-то из героев не знает тайны, либо кто-то узнает, что кто-то из героев знает тайну. Может ли показ сериала длиться не менее семи лет, если каждый день будет демонстрироваться новая серия?
8. Имеется три конверта, на один из которых нужно наклеить марку. В каждом конверте содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны, в другом оба ложны, а в третьем конверте одно утверждение истинно, а другое ложно. Вот эти утверждения:
Конверт 1
1.1. На этот конверт не нужно наклеивать марку.
1.2. Обязательно нужно наклеить марку на второй конверт.
Конверт 2
2.1. Не нужно наклеивать марку на первый конверт.
2.2. Необходимо наклеить марку на третий конверт.
Конверт 3
3.1. Не следует наклеивать марку на этот конверт.
3.2. Требуется наклеить марку на первый конверт.
Определите, на какой конверт нужно наклеить марку.
XIV городской турнир юных математиков
«Кубок Управления Образования»
Первый тур