Рассмотрим две окружности: w и точку A (окружность с центром в точке A и нулевым радиусом). Тогда MN _– радикальная ось этих двух окружностей. 2. Из точки A, лежащей вне окружности w, проведены касательные AB и AC (B и C – точки касания).


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

1

06.12.16

Точка как окружность

Сегодня мы начнем занятие сразу с задачи, у которой есть очень короткое, но
неочевидное решение.

Задача
. Прямые
AB

и
AC



касательные к окружности


(
B

и
C



точки касания). Точки
M

и
N



середины отрезков
AB

и
AC
.

Точка
P



произвольная точка прямой
MN

(см. рис.).
Докажите, что
PA

=
PD
, где
PD



касательная к

.

На одном из прошлых занятиях мы рассматривали понятие
степени точки относительно окружностей.

В данном случае,
мы будем смотреть на точку А как на

окружность с центром А
радиуса 0. Как тогда определить, что такое степень точки Р
относительно такой вырожденной окружности? По
определению получим,

что эта степень равна РА
2
.

Решение
.
Рассмотрим две окружности:


и точку
A
(окружность с центром в точке
A
и

нулевым радиусом). Тогда
MN
_


радикальная ось этих двух окружностей. Следовательно, точка
P

лежит на радикальной оси окружности


и точки
A
. Тогда равны
степени точки
P
относительно этих окружностей, то есть
PA
2

=
PD
2
, откуда
PA

=
PD
, что и требовалось.

Упражнения
.
1)
Что является радикальной осью:

а) двух точек; б) окружности и точки вне ее; в) окружности и точки на окружности
?


2)
Что такое радикальный центр трех точек, не лежащих на одной прямой
?

Удивительным образом оказывается, что эти

простые факт
ы полезны для решения
довольно трудных задач. Для некоторых задач, которые вам будут предложены,
специально указаны источники, так как некоторые из них предлагались на весьма
серьезных олимпиадах.


Задачи для самостоятельного решения

1.

Даны окружность


и фиксированная точка
A

вне окружности. Через точку
A

проводятся

окружности
S
, которые касаются окружности


в точке
B
. Касательные,
проведенные в точках

A

и
B

к окружности
S
, пересекаются в точке
M
. Докажите, что все
такие точки
M

лежат на одной прямой.

2
.

Из точки
A
, лежащей вне окружности

, проведены касательные
AB

и
AC

(
B

и
C



точки
касания). Точки

E

и
F



середины отрезков
AB

и
AC

соответственно. На прямой
EF

выбрана произвольная точка
D
,

из которой к


проводятся касательные
DP

и
DQ

(
P

и
Q



точки касания). Прямая
PQ

пересекает прямую
EF

в

точке
M
. Докажите, что

DAM

= 90

.

3.

Вписанная окружность касается сторон
BC
,
CA

и
AB

треугольника
ABC

в точках
A
0
,
B
0

и
C
0

соответственно.

Точки
A
1

и
C
1



середины отрезков
B
0
C
0

и
A
0
B
0

соответственно.
Докажите, чт
о четырехугольник

AA
1
C
1
C



вписанный.

4.

В треугольнике
АВС

проведена вписанная окружность с центром
I
, которая

касается
сторон
AB
,
BC

и

AC

в точках
C
0
,
A
0

и
B
0

соответственно.

а) (
Кубок имени А.Н. Колмогорова
) Прямая
BI
пересекает
A
0
C
0

в точке
K
. Докажите, что
центр

описанной окружности треугольника
BKB
0

лежит на прямой
AC.

б) (
Санкт
-
Петербургская олимпиада 2002, отборочный тур
)

Прямая, перпендикулярная
BB
0

и проходящая через
B
0
, пересекает
A
0
C
0

в точке
B
1
. Докажите, что середина

отрезка
BB
1

лежит на пря
мой
AC
.

5.

Вписанная окружность треугольника
ABC

касается сторон
AB
,
BC

и
AC

в точках
C
0
,
A
0

и
B
0

соответственно. Прямая
a

проходит через середины отрезков
AB
0

и
AC
0
. Аналогично,
определяются прямые
b

и

c
. Точки попарного пересечения прямых
a
,
b

и
c

образуют
треугольник
A

B

C

. Докажите, что центры описанных окружностей

треугольников
ABC

и
A

B

C


совпадают.

6.

В остроугольном треугольнике
ABC

угол
C

больше угла
A
.
M



середина стороны
AC
.
A
1

и
C
1



основания высот, проведенных из вершин
A

и
C

соответственно
.
A
0

и
C
0





2

середины отрезков
MA
1

и
MC
1
. Прямая
A
0
C
0

пересекает

прямую, проходящую через
B

параллельно
AC
, в точке
T
. Докажите, что
TB

=
TM
.

7.

Точка
I



центр вписанной окружности треугольника
ABC
. Прямая, проходящая через
точку
I

перпендикулярно

прямой
BI
, пересекает прямую
AC

в точке
B
1
. Аналогично
определяются точки
A
1

и
C
1
.

Докажите, что точки
A
1
,
B
1

и
C
1

лежат на одной прямой.


8.

(
Всероссийская олимпиада 2011, 10.4
) Периметр треугольника
ABC

равен 4. На лучах
AB

и
AC

отмечены точки
X

и
Y

так, что
AX

=

AY

= 1. Отрезки
BC

и
XY

пересекаются в
точке
M
. Докажите, что периметр одного из треугольников
ABM

или
ACM

равен 2.

9.

(
Турнир городов, 2013
) В треугольник
ABC

вписана окружность, касающаяся сторон
BC
,
CA

и
AB

в точках
X
,
Y

и
Z

соответственно. На плоскости отметили

произвольную
точку
K
. Серединные перпендикуляры к отрезкам
KX
,
KY

и
KZ

пересекают прямые
BC
,
CA

и
AB

в точках
X
1
,
Y
1

и
Z
1

соответственно. Докажите, что точки
X
1
,
Y
1

и
Z
1

лежат на одной
прямой.

10.

(
IMO Shortlist, 2007
) Вписанная окружность треу
гольника
ABC

касается сторон
AB

и
AC

в

точках
Z

и
Y

соответственно. Прямые
BY

и
CZ

пересекаются в точке
G
. Точки
R

и
S

выбираются

так, что четырехугольники
BCYR

и
BCSZ



параллелограммы. Докажите, что
GR

=
GS
.




Приложенные файлы

  • pdf 14856002
    Размер файла: 293 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий