Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле. Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле . Решение.


ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»
МГУПС (МИИТ)
М.Е. Булатникова, ст. преподаватель
В данной статье мы рассматриваем особенности изучения темы «Двойные интегралы», а так же обобщаем опыт нашей работы по данной теме.
Ключевые слова: двойной интеграл, область интегрирования, графики функций.
Одной из наиболее сложных тем для восприятия студентами курса «Математического анализа» является тема «Двойные интегралы», которая изучается студентами второго курса. Это связано с рядом объективных причин, среди которых 1) слабая школьная подготовка (не знание основных элементарных функций, отсутствие навыков построения графиков функций), 2) не развитое пространственное воображение, 3) недостаточно сформированные навыки интегрирования. В связи с этим при работе со студентами первого курса мы особое место уделяем построению графиков функций и их преобразованиям как в теме «Понятие и свойства функции», так и в теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла».
Приведем примеры решения задач с комментариями, которые мы рассматриваем пи изучении темы «Двойные интегралы»
Непосредственное вычисление двойного интеграла.
Пример 1.
Вычислить двукратные интегралы:
1) .
Решение. 1) Здесь интегрируем сначала по переменной , считая постоянной, затем по :
;
.
Вычисление двойного интеграла по указанной области.
Пример 2.
Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной прямыми , , .
Решение. Область показана на рис. 1. Последовательность интегрирования может быть любой, так как границы области не имеют точек излома.
Если секущие параллельны , то внешний интеграл по имеет пределы . Пределы внутреннего интеграла по равны ; .
Получим: .
Отдельно найдем внутренний интеграл:
.
Возвращаемся к внешнему интегралу:
.

Рис. 1.
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле
Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .
12058651108710Решение. Здесь область интегрирования ограничена прямыми ; ; ; (рис. 2). При изменении порядка интегрирования (внутренний интеграл по ), секущие параллельны . Их точки «входа» располагаются на двух линиях: (уравнение ) и (уравнение
Рис. 2.
По этой причине область необходимо разбить на две: и , в каждой из которых нижняя линия границы задается только одним уравнением.Найдем координаты точек и , решая системы уравнений:
; .
Для участка будет , для участка .
Таким образом, интеграл при изменении порядка интегрирования равен сумме двух интегралов:
.
Двойной интеграл в полярных координатах.
Пример 4. Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл , где - круговое кольцо, заключенное между окружностями и (т. е. ).
Решение.
Совместим полярную ось с осью (рис. 3).

Рис. 3.
Полагая , , запишем уравнения границ области в полярных координатах: ; . Эти линии определяют собой пределы изменения : от до . Для кольца угол заключен в пределах от до . Пользуясь правилом перехода к полярным координатам, преобразуем подынтегральное выражение и получим: .
Вычисление площадей.
Пример 8.
Найти площадь области, ограниченной линиями:
1) гиперболами , и прямыми , ;
2) кардиоидой и окружностью ();Решение. 1) Проведем секущие параллельно оси (рис. 4).

Рис. 4
Получим: .
Если проводить секущие параллельно оси , то результат получим тот же, но объем вычислений увеличится. Покажем это. Левая и правая границы области имеют точки излома (рис. 5). Определим их координаты, решая соответствующие системы уравнений: ; . Ординаты точек равны между собой, поэтому заданную область понадобится разбивать на две части: и .
Точки и - крайние, через них проходят касательные. Уравнения линии разрешим относительно .
Итак,



.

Рис. 5
Данный пример наглядно подтверждает важность рационального выбора порядка интегрирования.
Так как объем статьи ограничен, то вычисление объемов с помощью двойного интеграла будет рассмотрен в следующей статье.
Опыт нашей работы отражен в учебном пособии «Двойной интеграл», целью которого является в доходчивой форме оказать помощь студентам в изучении данных тем и закреплении знаний. Весь материал пособия разбит на параграфы, каждый из которых содержит краткую теорию, основные определения и формулы, а также подробный разбор решения типовых задач. В учебное пособие помещены задания для аудиторной работы и для самостоятельного решения соответствующие разобранным в параграфе. Пособие содержит большое количество задач, отражающих связь математики с другими дисциплинами.
Список использованной литературы
Дмитрусенко Н.С., Булатникова М.Е. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля. В 5 ч. Ч. 1. Двойной интеграл: Учебное пособие. – М.: МИИТ, - 2011. – 70 с.: ил.

Приложенные файлы

  • docx 14874641
    Размер файла: 228 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий