2.10. Определить неточность x в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью V 1,5 Мм/с, если 6.14. Найти концентрацию n свободных электронов в металле при тем-пературе Т 0 К. Энергию Ферми EF принять равной 1эВ.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.


3







СОДЕРЖАНИЕ


Введение
……………………………………………………
………………


4

Литература
…………………………………………………
……………….


6

Рабочая програ
м
ма
…………………………………………
………………

7

Раздел 1.

Элементы квантовой механики
………………………………



1.1.

Корп
ускулярно
-
волновой
дуализм
…………………………..



1.2
.

Квантовые состояния

частиц
………………
………………….

1
1

11

11

.

1.3
.

Прохождение частиц через потенциальный барьер
……….
.

1
3

Раздел
2
.

Физика ат
о
мов
………………………
………………………

...


2.1. Атом водорода…
………………………………………………

1
5

15

Раздел
3
.

Ф
изик
а

твердого тела
………………………………
……………



3.1
.

Колебания кристаллической решетки
……………………….

1
7

17



3.2
.
Электроны в металлах и полупроводниках
…………………
.

1
9

Раздел
4
.

Физика атомного ядра и элементарных

частиц
………………



4
.1.

Характеристики атомных ядер
……………………………….

2
3

23




4
.2.

Радиоактивность……………………………………………


2
4

Примеры решения задач ………………………………………………


2
6

Задачи к контрольной работе №6 ……………………………………
….

36

Приложени
я


(таб
лицы физических величин) ………………………
….

5
4


















4



ВВЕДЕНИЕ


В процессе заочного обучения выполнение домашних контрольных зад
а-
ний является необходимой практической основой при изучении курса физ
и-
ки. Решение задач способствует приобщению студента

к самостоятел
ь
ной
творческой работе, учит анализировать физические явления, отвлек
а
ясь от
случайных и несущественных деталей.

Предлагаемое издание
содержит методические указания

к решению
т
и-
повых
задач по
шестой

части курса ©Эле
менты
к
вантовой механики. Ф
из
и
к
а

твердого тела. Физик
а

атомного ядра и элементарных частиц

ª. При соста
в-
лении вариантов заданий не преследовалась цель наиболее полного охв
а
та
всех типов задач по той или иной теме. Распределение задач по вариантам
обеспечивает студентам индивидуальны
е наборы наиболее типичных для
каждой темы задач. Для удобства выполнения индивидуальных заданий п
о-
собие содержит краткие теоретические сведения и основные расчетные
формулы. Кроме того, приводятся примеры решения задач по всем ра
з-
делам и
зучаемого курса.


При оформлении контрольных работ студенту
-
заочнику необходимо
руководствоваться следующим
и правилами
:


1. Контрольные работы выполняются шариковой ручкой

с

черной или
синей
пастой


в обычной школьной тетради (12

страниц, в клетку), на
обложке которой приводятся сведения по следующему о
б
разцу:



Контрольная работа по физике № 6

Вариант № 54


Студентки заочного факультета МГТУ ГА

Савичевой Е.Д.

Шифр АК


037345


Адрес: г. Москва, ул.

Багрицког
о,

дом 8, кв.7







5


2. Выбор варианта задания осуществляется в соответствии с присвоенным
студенту на период обучения номером
Шифра
.


3. Студент
-
заочник должен решить

8

(
восемь
)

задач

того варианта, номер
которого совпадает с последними
двумя

цифра
ми его
Шифра
. Задачи вар
и-
анта выбираются по
т
абл
.



1

(стр.
32
).

4. Условия задач переписываются в тетрадь
полностью, без сокращений
. Для
замечаний преподавателя на страницах тетради обязательно оставляются
поля шириной 4
-

5 см.

5.

Решение задач

и используемые формулы должны сопровождаться поя
с-
нениями.

6.

Решения задач рекомендуется сначала сделать в общем виде, а затем пр
о-
извести численные расчеты.

7. В конце контрольной работы указывается, какими учебными пособи
я-
ми студент пользовался п
ри выполнении контрольной работы (название,
авторы, год издания).



Задания, оформленные с нарушением этих требований или содержащие
ошибки, возвращаются на доработку, которая производится в той же тетради.



Электронный адрес кафедры физики МГ
ТУ ГА:


kf
@
mstuca
.
ru



Для самостоятельного изучения
разделов

©Элементы квантовой м
е-
ханики
. Ф
изик
а

твердого тела
. Физик
а

атомного яд
ра и элементарных ч
а-
с
тиц
ª на следующей странице приводится список
о
сновной и
д
ополн
и-
тельной
л
и
тературы.





















6



ЛИТЕРАТУРА

Основная рекомендуемая литература:


1.

В.Д. Дмитриева, В.Л. Прокофьев.
Основы физики.

Учебное пособие для
студентов вузов.

М.: Высш.

шк., 2001.

527с.:ил.


Дополнительная литература:



1. Савельев И.В. Курс

общей

физики.Т. 3: Квантовая

оптика. Атомная физ
и-
ка. Физика твердого

тела.

Физика атомного ядра и элементарных частиц.
.
-
М.:
Наука,1989.


2. Детлаф А.А., Яворский Б.М.
Курс физики.


М.: Высш
.

ш
к
.
, 1989.


3. Трофимова Т.И.
Курс физики.



М.: Высш. шк., 1990.


4
. Физика в техничес
ком университете. Под ред. Л.К.Мартинсона, А.Н. М
о-
розова.
http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom2/


ПЕР
Е
ЧЕНЬ АДРЕСОВ ПОРТАЛО
В И САЙТОВ В ИНТЕРНЕ
Т,

СОДЕРЖАЩИХ УЧЕБНУЮ И
НФОРМАЦИЮ ПО ДИСЦИПЛ
ИНЕ


С
айт кафедры физики МГТУ ГА http://physics.mstuca.ru/

Электронная информотека МГТУ ГА https://informoteka.ru


Учебники в формате DjVu

Савельев И.В., том 3
"Квантовая оптика. Физика атом
ного ядра и элемента
р-
ных частиц"

http://physics.mstuca.ru/library/books/Savel'ev_3.djv

Тейлор Дж.
"Введение в теорию оши
бок"

http://physics.mstuca.ru/library/books/Taylor.djv


Видеодемонстрации физического факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

http://genphys.phys
.msu.su/video/









7


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА


Элементы квантовой механик
и
,
фи
зики твердого тела
.

Физика

атомного ядра и элемента
р
ных частиц


Тема 1. Боровская теория атома.

Строение атома.
Элементарная т
еория
атома
Бора.

Постулаты Бора.

Опыты Резерфорда по расс
еянию α
-

частиц

атомами вещества. Модель атома
по Резерфорду. Спектр
альные закономерности

излучения

света водородоп
о-
добными

атом
ами
. Формула Бальмера. Опыты Франка и Герца.

Центральные вопросы темы: Элементарная теория атома Бора. Спе
к-
тральные закономерн
ости излучения света водородоподобными атомами.
Формула Бальмера.

Вопросы для самоконтроля:


1.

Объясните строение атома.

2.

Сформулируйте постулаты

Бора
.

3.

Объясните характер спектра излучения атома водорода.

Лит
ература
[1]. § 185
-
189
,

стр
.

406
-
415.

Основные понятия: электрон, атомное ядро, электронные орбиты, боро
в-
ский радиус, квант
электромагнитного излучения, спектр излучения и п
о-
глощения, спектральные термы.



Тема 2. Элементы квантовой механики
.

Гипотеза де

Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера по дифракции эле
к-
тронов. Границы применимости классической механики Ньютона. Соотн
о-
шени
я

неопределённостей Гейзенберга. Вероятностная гипотеза Борна о во
л-
новой ψ
-
функции микрочастицы. Уравнение Шредингера для волновой
фу
нкции микрочастицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной
яме

с прямоугольными стенками
. Энергетический спектр частицы в

такой

потенциальной яме. Прохождение частиц через
прямоугольный
потенциал
ь-
ный барьер.

Центральные вопросы темы: Гипотеза де Бро
йля. Соотношения неопр
е-
делённостей Гейзенберга. Вероятностная гипотеза о волновой ψ
-
функции
микрочастицы. Стационарное уравнение Шрединг
е
ра.Энергетический спектр
частиц в потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный б
а-
рьер.

Вопросы для самоко
нтроля:

1.

Сформулируйте гипотезу де Бройля.

2.

В чем состоит назначение

волновой функции.



3.

Запишите и поясните соотношени
я

неопределённостей Гейзенберга.

Литература
[1]
,

§

188
-
191
,стр413
-
421.

Основные понятия
: корпускулярно
-
волновой дуализм, неопределенность
координаты и импульса, волновая функция, потенциальная яма, потенциал
ь-
ный барьер.




8


Тема 3. Физика атомов.

Атом водорода. Уравнение Шредингера для волновой функции электр
о-
на в атоме водорода. Структура спек
тров щелочных металлов. Опыты Ште
р-
на и Герлаха. Понятие спин
а

электрона. Полный момент импульса электр
о
на
в атоме. Полный магнитный момент атома. Эффект Зеемана. Принцип Паули.
Распределение электронов по энергетическим уровням атом
а
. П
е
риодическая
система

химических элементов Д.И. Менделеева.

Центральные вопросы темы: Уравнение Шредингера для волновой
функции электрона в атоме водорода.

Спин электрона. Полный момент и
м-
пульса электрона в атоме. Полный магнитный момент атома. Принцип Па
у-
ли. Распределение эле
ктронов по энергетическим уровням атома. Период
и-
ческая система химических элементов Д.И. Менделеева.


Вопросы для самоконтроля:

1. Ч
то такое спин электрона
?

2.Какие
квантовые числа

определяют полный момент импульса электр
о-
на в атоме?

3.Сформулируй
те принцип Паули.


Литература
:

[
1]
§
197
-
199
,стр 433
-
438.

Основные понятия:

момент импульса электрона, магнитный момент
электрона, спин электрона, распределение электронов в атоме.


Тема 4.Элементы физики твердого тела
.


Кристаллическая решетка твёрдых те
л. Монокристаллы и поликриста
л-
лы. Виды межатомных связей. Тепловые колебания кристаллической реше
т-
ки. Теплоемкость кристаллов. Теория теплоёмкости твердых

тел

по

Дебаю.

Центральные вопросы: Кристаллические тела.

Виды межатомных связей.
Тепловые колебания к
ристаллической реше
т
ки. Теплоемкость кристаллов.
Теория теплоёмкости твердых

тел

по

Дебаю.

Вопросы для самоконтроля:

1.Объясните строение твёрдых тел.

2.Какие виды межатомных связей возникают в твёрдых те
лах
?

3.В чём заключается теория теплоёмкости кристаллов Дебая?


Литература
:

[1] § 217
-
219
,стр 483
-
486.

Основные понятия: кристаллическая решетка, период решетки, ме
ж-
атомная связь, фононы, энергия фононов
, теплоемкость кристаллов, темпер
а-
тура Дебая.



Т
ема 5.Электро
проводность металлов и полупроводников.


Квантовая теория свободных электронов в металлах. Электронный газ.
Зонная теория энергетических уровней электронов в кристаллах. Энергетич
е-
ская зонная структура диэлектриков, проводников и полупроводник
ов. Эле
к-
тропроводнос
ть металлов. Сверхпроводимость

как макроскопический ква
н-
товый эффект. Особенности структуры энергетических зон полупроводн
и-
ков. Собственная и примесная проводим
ость в полупроводниках.
Контакт
двух полупроводников с различным типом пров
одимости (р
-
п


переход).



9


Полупроводниковые диоды и транзисторы. Внутренний фотоэффект в пол
у-
пр
о
водниках.

Центральные вопросы: Квантовая теория свободных электронов в м
е-
таллах. Электронный газ. Зонная теория энергетических уровней электронов
в кристаллах.
Энергетич
е
ская зонная структура диэлектриков, проводников и
полупроводников. Особенности структуры энергетических зон полупрово
д-
ников. Собственная и примесная пров
о
димость в полупроводниках.

Вопросы для самоконтроля:


1. В чём заключается зонная теория кристаллов?

2. Поясните структуру энергетических зон: диэлектриков, проводников и

п
олупроводников.

3.

Как возникает примесная проводимость у полупроводников?

4.
Объясните с помощью зонной теории электропрово
д
ность

полупр
о-
водников.


Литература.
[1] §

220
-
224
, стр 488
-
494.

Основные понятия:

электронный газ, энергетические зоны, диэлектрики,
проводники, полупроводники, собственные и примесные

полупроводн
и
ки,

р
-
п п
е
реход.


Тема 6.Физика атомного ядра и элемента
рных частиц
.


С
остав
и
характеристики

атомных ядер.

Протоны и нейтроны (нукл
о-
ны)
-
составные части атомных ядер. Основные характеристики нуклонов .
Изотопы. Ядерные силы и их свойства. Дефект массы и энергия связи ядер.
Радиоактивность и ядерные реакции. За
кон р
а
диоактивного распада. Период
полураспада. Типы радиоактивного распада. Основные характеристики α и β
распада. Нейтрино. Гамма из
л
учение. Яде
р
ные реакции. Законы сохранения в
ядерных реакциях. Деление тяжёлых ядер. Термоядерные реакции. Энерг
е-
тический

выход ядерных реакций
.

Элементарные частицы. Методы рег
и-
с
т
рации элементарных частиц.

Центральные вопросы:

Состав и характеристики атомных ядер. Яде
р
ные
силы и их свойства. Дефект массы и энергия связи ядер. Радиоакти
в
ность и
ядерные реакции. Закон радиоа
ктивного распада. Основные характ
е
ристики
α и β распада. Законы сохранения в ядерных реакциях. Термоядерные реа
к-
ции. Элементарные частицы.

Вопросы для самоконтроля:

1.

Какие частицы составляют
атомн
ое

ядр
о?

2.

Какими свойствами обладают ядерные силы ?

3.

Сформулируйте закон радиоактивного распада.

4. Назовите виды радиоактивного распада.


Литература
[1] § 202
-
207
, стр
.

446
-
461.

Основные понятия: протон, нейтрон ,зарядовое и массовое числа, из
о-
топ, ядерные силы,

радиоактивность, ядерные реакции, дефект массы, эл
е-
ментарные частицы.





10





Учебный план


УЧЕБНЫЙ ПЛАН (аудиторные часы)

Курс

Лекции

Лаб.раб.

Пр.зан.

Зач.

Экз.

Всего:

1

12

12

-

-

+

24

2

12

12

-

-

+

24




-

-



Вс
его:

24

24

-

-

2

48


Обзорные лекции 4,5,6.(6 час.).


Лекция 4.

Обзор содержания тем 1
-
2
.


Лекция 5.

Обзор содержания тем 3
-
4
.


Лекция 6.

Обзор содержания тем 5
-
6
.


Перечень лабораторных работ и их объём в часах.


(Каждый студент выполняет на 2 курсе по

3 лабораторные работы,

продолжительностью 4 часа каждая)
.


По теме 1 выполняется лабораторная работа

ЛР
-
3 Спектр излучения атома водорода.

Цель работы
: Изучение закономерностей излучения света атомами водор
о
да.

Экспериментальное исследование спектра излу
чения атомами водор
о
да.

Опытное определение постоянной Ридберга.

Подготовка к работе:
и
зучите теоретический материал по учебнику
[1]
:
с
пектр атома водорода

§186 стр.408, строение атома §187 стр.410.












11



Раздел 1.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ


Кратки
е теоретические сведения и основные

расчетные формулы


1.1.
КОРПУСКУЛЯРНО
-
ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ


К
орпускулярно
-
волновой дуализм

заключается в том, что

все матер
и-
альны
е

объект
ы

природы

обладают одновременно корпускулярными и во
л-
новыми
свойствами
.

А. Эйнштейн
ввел понятие частиц света
-

фотонов
, несущих
квант

(порцию) энергии
ε
ф

и обладающих импульсом

р
ф
.
Э
ти характеристики св
я-
заны с частотой

и длиной волны

электромагнитного излучения формул
а-
ми


и

,





(
1
.1)

где
h
= 6,63·10
-
34

Дж·с
-

постоянная Планка
,

-

единичный вектор напра
в-
ления движения фотона.

Наличие у электромагнитных волн свойств частиц побудило
Луи де
Бройля

высказать
гипотезу

о том
,

что

любая

движущаяся частица с энерг
и
ей
Е

и импульсом

обладает волновыми свойствами, которые соответств
у
ют
длине волны и частоте, определяемым по формулам


и
.




(
1
.
2
)

С
воеобраз
ие

сво
йств микро
частиц

описывают

соотношения неопред
е-
ленностей
, установленные
В. Гейзенбергом
. Математически соотн
о
шения
неопределенностей имеют вид неравенств, например

,





(
1
.
3
)

где
,
x
и
p
x

-

неопреде
ленности значений координаты
x
и сопр
я-
женной с ней компоненты импульса
p
x
.

Аналогичные соотношения справе
д-
ливы и для других пар


y

и

p
y
,

z

и

p
z

,

E

и

t
.



1.2.

КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ


В классической механике состояние частицы задается радиусом
-
вектором


и импульсом
, изменение которых определяется с помощью
второго закона Ньютона. В физике микромира из
-
за соотношения неопред
е-
ленностей классическое определение состояния утрачивает смысл и мо
жно
говорить лишь о
вероятности

обнаружения частицы в той или иной области
пространства. Эта вероятность определяется через
волновую функцию

(пси
-


12


функцию)
(x,y,z,t),

которая является решением уравнения Шредингера и
задает

квантовое

состояние микрочастицы
. Для стационарных (не завис
я-
щих от вр
е
мени) состояний


у
равнение Шредингера

имеет

вид


или
.


(1.4)


Вероятность 
W

обнаружения частицы в элементе объема 
V

в окрестн
о-
сти некоторой точки
с координатами {
x,y,z
} равна


d
W = |
(
x,y,z,t
)
|
2

d
V = |
(
x,y,z
)
|
2

d
V =

(
x,y,z
)

d
V,



(
1
.
5
)

где величина
(
x,y,z
)
= |
(
x,y,z
)
|
2

называется плотностью вероятности.


Для определения вероятности
W

обнаружения частицы в объеме
V
0

необх
о-
димо проинтегрировать э
то выражение:

.





(
1
.6
)

Соответственно, в одномерном случае, вероятность обнаружения част
и-
цы в пределах области [
x
1
,x
2
] равна

,






(
1
.
7
)

а в случае
сферы (
сферической симметрии задачи
)

вероятность об
наружения
частицы в сферическом слое в пределах значений расстояний от центра от
r
1

до
r
2

.



(
1
.
8
)

Учитывая, что вероятность достоверного события равна 1, можно нап
и-
сать
условие нормировки

для

функ
ции


.






(
1
.
9
)

Таким образом, физический смысл нормировки отражает реальность
н
а
хождения частицы во всей области, где Ψ≠0
.

Вид волновой функции в конкретной задаче находится с помощью

ст
а-
ционарного уравнения

Шредингера
. В част
ности,

его

решение для част
и
цы
массы
m
,

локализованной в
одномерной
прямоугольной
потенц
и
альной яме
шириной

l

и с абсолютно непроницаемыми

(бесконечно высокими)

стенк
а-
ми
,

дает набор собственных функций
n

и собственных значений по
л
ной
энергии
E
n
:

,
,




(
1
.1
0
)


где
n =

1,2,3,...

.



13



1.3.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ

ЧЕРЕЗ

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР



Потенциальный барьер

-

пространственно ограниченная область выс
о-
кой потенциальной энергии частицы в силовом поле
, с одной или с двух ст
о-
рон которой потенциальная энергия более или менее резко спадает. На рис.
1
.
1

и
1
.
2
приведены потенциальные барьеры простейшей формы для случая
движения частицы вдоль оси 0
x
. Максимальное значение потенциальной
энергии
U
0

называет
ся высотой барьера.


U

U



1 2 1 2 3



U
0



U
0





E E



0
x


0
l

x


Рис
.
1
.
1

Рис
.
1
.
2


Решение стационарного уравнения Шредингера для частиц, движущихся
в области потенциального барьера, приводит к отличным от классической
физики выводам:

1. Если частица, имеющая ма
ссу
m
и полную механическую энергию
E
,
налетает на потенциальный барьер в виде ступеньки (рис.
1
.
1
) и
при

этом


E

U
0

, то она отражается от него не на границе барьера, а проникая в глуб
и-
ну. Плотность вероятности обнаружить частицу “внутри” потенциаль
ного
барь
е
ра (при
x


0) убывает экспоненциально в соответствии с формулой



где
С



сonst. (
1
.1
1
)

В
этом

случае

в области 1 наблюдается интерференция падающей и о
т-
раженной волн де Бройля частицы.

2. Если частица налетает н
а потенциальный барьер в виде ступеньки
(рис.
1
.
1
)

при
E

U
0

, то для нее имеется вероятность
D

прохождения в о
б-
ласть 2 (где ее кинетическая энергия
T = E


U
0
) и вероятность

R

отражения
от барьера, определяемые по формулам

,
.




(
1
.1
2
)

Очевидно, что
R + D
= 1. Величины
D
и

R

называют
коэффициентами

прохождения (пропускания)
и

отражения
соответственно. Изменение к
и-
нетической энергии частицы при прохождении границы областей 1 и 2 с ра
з-


14


ной потенциальной энергией п
риводит к изменению ее волнового числа

k
=

=
2
/

и длины волны де Бройля. Величина









(
1
.1
3
)


называется
коэффициентом преломления

волн де Бройля.

3. Если частица с энергией
E

U
0


налетает на прямоугольный потенц
и-
ал
ьный барьер конечной ширины
l

(рис.
1
.2), то у нее имеется вероятность о
т-
разиться, вероятность проникнуть в область
2
и вероятность пройти потенц
и-
альный барьер (
туннельный эффект
) и попасть в область
3
. Соответству
ю-
щий
коэффициент прохождения (пропускания
и
ли

прозрачности)

D
опр
е-
деляется по формуле





(
1
.1
4
)

При решении задач на прохождение частицей потенциального барьера
полезно записать качественный вид функции плотности вероятности ее обн
а-
ружения
|
(
x
)
|
2

для областей 1, 2, 3 (рис.

1
.
1

и
1
.
2
) и построить соответс
т
в
у-
ющие графики.
























15




Раздел 2.


ФИЗИКА АТОМОВ

Краткие теоретические сведения и основные

расчетные формулы


2.1.

АТО
М ВОДОРОДА

Атом является наименьшей частью химического элемента, в которой с
о-
храняется
е
го
индив
идуальность
. Опыты Э.Резерфорда доказали, что атом
состоит из положительно заряженного ядра, в котором сосредот
о
чена почти
вся масса, и движущихся
вокруг него

электронов. Решение уравнения Шр
е-
дингера с учетом взаимодействия в такой системе зарядов

дает собс
т
венные
функции, содержащие три целочисленны
х

параметра
n
,
l
,
m



n
,
l
,
m

(
r
,
,
),


где
r
,
,



сферические координаты.

Эти параметры называются
квант
о-
выми числами
и могут принимать сл
е
дующие значения:

-

главное

квантовое число



n

= 1,2,3,....
;

-

азимутальное (орбитальное
)

квантовое число
l =
0,1,2,...,
n
-
1;

-

магнитное

квантовое число
m
= 0,
1,
2,...,
l
.

В атоме водорода эти числа определяют соответственно квантование
энер
гии электрона
E
n
, модуля момента импульса
M

и проекции момента и
м-
пульса электрона на физически выделенную ось (например 0
z
)
M
z
:


;

;



. (
2
.
1
)

Из экспериментальных фактов следует,
что у электрона имеется со
б-
с
т
венный момент импульса


спин
, проекция которого
M
sz

на физически в
ы-
д
е
ленную ось определяется формулой

, где
m
s
=
s
,
s
=



спиновое квантовое число. (
2
.2)


Поэтому
состояние электрона в атомах характеризуется четырьмя
квантовыми числами
n
,
l

,
m
,
m
s
. В атомной физике принята система усло
в-
ных обозначений состояния электрона с различными значениями числа
l
: е
с-
ли
l
= 0, то состояние называется s
-
состояние, при
l
= 1


p
-
состояние,
l
= 2


d
-
состояние,
l
= 3


f
-
состояние,
l
= 4


g
-
состояние и далее по алфавиту. Зн
а-
чение главного квантового числа указывается цифрой перед условным об
о-
значением квантового числа
l
. Например, электрон в состоянии с
n

= 4 и
l
= 2
обозначаетс
я 4. С учетом этих обозначений уровни энергии в атоме водор
о-
да удобно изображать в виде схемы, приведенной на рис. 2.1. На ней в кач
е-
стве прим
е
ра указаны возможные переходы из 4 в 1s состояние.




16


При определенном значении квантового числа
n

азимутальное
квантовое
число
l

может принимать
n

значений от 0 до
n
-
1, а при каждом значении
l

квантовое число
m

может принимать 2
l
+1 значение. Следовательно, с учетом
спинового квантового числа кратность вырождения по энергии состояния с
квантовым числом
n

равна

. (
2
.
3
)

Совокупность состояний электрона с одинаковым главным квантовым
числом
n

называется оболочкой. В свою очередь, оболочка состоит из по
д-
о
болочек


состояний с одинаковыми значениями квантово
го числа
l
. При
п
е
реходе электрона с одного уровня энергии на другой происходит испуск
а-
s

l
=0

p

l
=1

d

l
=2

f

l
=3

g

l
=4

n
=1

n
=3

n
=2

n
=4

0

-
1
-

-
2
-

-
3
-

-
4
-

-
5
-

-
6
-

-
7
-

-
8
-

-
9
-

-
10
-

-
11
-

-
12
-

-
13
-

-
14
-

Э н е р г и я, э В

Рис.2.1



17


ние или поглощение кванта энергии в виде фотона, который обладает моме
н-
том импульса. Поэтому

закон сохранения момента импульса накладывает
огр
а
ничения на переходы в вид
е
правила отбора
: возможны переходы ме
ж-
ду с
о
стояниями, для которых выполняется условие

.





(
2
.
4
)

В атомах, содержащих больше одного электрона, энергия состояния з
а-
висит в основном от квантовых чисел
n

и
l

, а распределение эл
ектронов по
состояниям определяется
принципом Паули
: в одном стационарном состо
я-
нии, характеризующемся четырьмя квантовыми числами {
n,l,m,m
s
}
, не может
одновременно быть

больше одного электрона. В основном (невозбужденном)
состоянии атома электроны распола
гаются на самых низких энергетических
уровнях, не нарушая принципа Паули. В атоме гелия ( = 2) оба электрона
при разных значениях спинового числа находятся в состоянии с
n

= 1 и
l

= 0.
Тогда так называемая
электронная конфигурация

атома гелия записывает
ся
как 1s
2

(два электрона в s
-
состоянии на 1
-
ой оболочке).





Раздел 3 . ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткие теоретические сведения и основные

расчетные формулы


3.1
. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ


Колебания кристаллической решетки являются одним из видов

внутре
н-
него движения в твердом теле, когда составляющие его структурные частицы
(атомы, молекулы, ионы) колеблются около положения ра
в
новесия
-

узлов
кристаллической решетки. Амплитуда этих колебаний увеличивается с р
о-
с
том температуры, но всегда остается
значительно меньше, чем простра
н-
с
т
венный период решетки. Когда температура достигает некоторого крит
и-
ч
е
ского значения, кристаллическая решетка разрушается, начинается процесс
плавления.

При расчете энергии кристаллической решетки П. Дебай учел, что кол
е-
бан
ия атомов не являются независимыми. В этом случае движение в системе
из
N

упруго связанных друг с другом атомов, обладающих 3
N

степенями
свободы, можно смоделировать суперпозицией 3
N

коллективных гармонич
е-
ских движений (
нормальных мод
).

В соответствии с
выводами квантовой механики энергия каждой моды
может иметь только дискретные значения

,






(
3
.1)




18


где
n =
0,1,2,...
, а величина

характеризует
энергию нулевых кол
е-
баний
. Квант энергии упругих колебаний

называется
ф
о
ноном.

Среднее число фононов в одной моде с частотой

, как и в случае с фотон
а-
ми, определяется формулой


.
(
3
.2)

С учетом (
3
.1) и (
3
.2) можно записать ф
ормулу для среднего значения
энергии моды с частотой


.
(
3
.3)


Спектральная плотность фононных мод
D
(
) определяется формулой,
котор
ая

учитывает, что в твердом теле, помимо поперечных волн двух пол
я-
риза
ций, могут распространяться еще и продольные волны

, (
3
.4)

где
V

-

объем кристалла,
C
ЗВ

-

скорость упругих волн в кристалле, соотве
т-
с
т
вующим образом усредненная по поляризациям, частотам и направлен
иям.

В отличие от электромагнитных волн спектр фононных мод ограничен
сверху величиной
D
, имеющей название
дебаевской частоты
. Смысл этого
ограничения становится ясным, если учесть, что в кристаллах не могут сущ
е-
ствовать упругие волны, длина которых мень
ше расстояния между соседн
и-
ми атомами. Значение
D
,

определенное из требования равенства общего к
о-
личества мод числу степеней свободы 3
N
,

рассчитывается по формуле:

. (
3
.5)

С учетом формул
(3.3),

(3.4)

можно получить выражения для спектрал
ь-
ной плотности энергии упругих колебаний
U(
)

и по
л
ной энергии упругих
колебаний твердого тела

,





(
3
.6)


где
U
0

-

энергия нулевых колебаний кристаллической решетки. При вычи
с-
лении этого и
нтеграла удобно ввести понятие
температуры Дебая:

. (
3
.7)



19


Наибольший интерес представляют результаты вычисления в двух пр
е-
дельных случаях:

-
при высоких температурах (
T
D
)



,
(
3
.8)

-
при низких температурах (
T
D
)


.

(3.9)


С их помощью можно определить соответствующие теплоемкости тве
р-
дого тела:

-
при
T
D




(закон Дюлонга
-
Пти),


(
3
.10)

-
при
T
D



(закон
T
3

Дебая).

(
3
.11)



3.2.
ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ


Опыт показывает, что в металлах валентные электр
о
ны атомов образуют
своего рода газ отрицательных частиц
,

обволакивающий положительно з
а-
ряженные ион
ы кристаллической решетки. Такие электроны могут свободно
перемещаться в области, ограниченной размерами кристалла, что дает осн
о-
вание применить к ним результ
а
ты решения задачи о квантовании энергии
частицы, находящейся в беск
о
нечно глубокой

прямоугольной

потенциальной
яме. В этом случае для образца металла в виде куба с объемом
V

можно п
о-
лучить формулу для расчета числа электронных состояний
E
, энергия кот
о-
рых не превышает некоторого значения
E

и

имеет вид

.

(
3
.1
2
)

Плотность состояний
g
E

(число состояний, приходящееся на единичный
интервал энергии) равна

. (
3.13
)



Электроны являю
тся

фермионами

и

подчиняются принципу Паули

-

с
л
е-
дов
ательно
,

в каждом квантовом состоянии может находиться не более одн
о-
го электрона. Поэтому при нулевой температуре на каждом уровне с энерг
и-
ей
,

меньше
й

некоторого значения
E
F

,
находится по одному электрону
.

Вел
и-
чина
E
F

называется энергией Ферми. В общем
случае произвольной темп
е-
ратуры электроны заселяют состояния в соответствии с распределением
Ферми
-
Дирака

(рис.

3
.1).



20


.


(
3
.
14
)

Величина

представляет собой среднее число элек
тронов, наход
я-
щихся в

конкретном квантовом

состоянии с энергией
E
i
. Параметр

носит
название химического потенциала, который в общем случае слабо зависит от
температуры. В физике твердого тела химический потенциал

часто назыв
а-
ется

уровнем Ферми. Значение

при нулевой температуре соответствует
энергии Ферми
E
F
. Пренебрегая слабой зависимостью химического поте
н
ц
и-
ала от температуры ра
с
пределение (
3
.
14
) можно переписать в виде



.

(
3
.
15
)


График
этого распределения при
температуре

T =
0,05
E
F

/ k


приведен на
рис.
3
.2.






0
E
F

E

Рис.
3
.1. Зависимость среднего числа
эле
ктронов <
n
i
> в определенном
квантовом состоянии с энергией
E

при температуре
T

= 0.




0
E
F

E

Рис.
3
.2. Зависимость среднего числа
электронов <
n
i
> в определен
ном ква
н-
товом состоянии с энергией
E

при те
м-
пературе
T =
0,05
E
F

/ k
.


В металлах с концентрацией
свободных

электронов
n

значение энергии
Ферми можно найти по формуле

,




(
3
.
16
)


а среднее значение энергии

свободных

электронов


.





(
3
.
17
)




21


Таким образом
,

в приближении свободных электронов в металлах спектр
возможных значений энергии валентных электронов является квазинепр
е-
рывным, а заселенность уровней определяется распределением Ферми
-
Дирака
.

Если же п
ри решении уравнения Шредингера учитывать периоди
ч-
ность силового поля ионов кристаллической решетки, то в результате пол
у-
чится, что спектр значений энергии электронов состоит из
разрешенных



1,
2, 3 и
запрещенных


зон

шириной
Е



4, 5 (рис.

3
.
3
).



1



4


Е
Е


Е


2




5



3



Металл Диэлектрик
Полупроводник

Рис.
3
.
3



Разрешенная зона, в которой при температуре
Т

= 0
K

находятся вален
т-
ные электроны атомов, называется валентной зоной. В зонах выше валентной
при температуре
Т

= 0
K

эле
ктроны отсутствуют. Такие зоны называются
свободными. В зависимости от степени заполнения валентной зоны и шир
и-
ны запрещенной зоны
Е

между валентной и свободной химически чистые
кристаллы можно разбить на три класса: металлы, диэлектрики и полупр
о-
водники.

В

металлах

электроны заселяют нижнюю часть валентной зоны.
При воздействии электрического поля часть электронов переходит в такие
свободные квантовые состояния этой же зоны, которые предполагают дв
и-
жение в направлении воздействия внешнего поля. Именно эти

электроны и
становятся теми упорядоченно движущимися зарядами, которые создают
электрический ток. В
диэлектриках

все уровни энергии в валентной зоне
при температуре
Т

= 0 К заполнены, а ширина запрещенной зоны
Е

н
а
столько велика, что в обычных температу
рных условиях при воздействии
электрического поля вероятность перехода электронов на более высокие
энергетические уровни в свободной зоне практически нулевая, и электрич
е-
ский ток в диэлектриках не возникает. В химически
чистых полупроводн
и-
ках

характер запо
лнения зон при температуре
Т

= 0 К отличается от пред
ы-
дущего случая только тем, что ширина запрещенной зоны
Е

относительно
невелика и в обычных условиях энергия теплового движения оказывается д
о-
статочной для того, чтобы вероятность перехода электронов в с
вободную з
о-
ну стала ощутимой. Перешедшие в свободную зону электроны, как и эле
к-


22


троны в металлах, могут получить дополнительную энергию от электрич
е-
ского поля и создать электрический ток. В любом случае распределение
электронов по энергетическим уровням в з
онах описывается функцией Фе
р-
ми
-
Дирака (
3
.
14
). При этом можно приближенно считать, что в чистых пол
у-
проводниках уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны
.

Используя функцию распределения Ферми
-
Дирака (
3
.
14
)
,

можно пол
у-
чить выражение для концентра
ции электронов проводимости

в чистом
полупроводнике



, где
Δ

Е



ширина запрещенной зоны (
3
.
18
)


Поскольку электропроводность


пропорциональна концентрации

н
осителей тока, можно сделать вывод, что для чистых полупроводников
σ

изменяется по закону

, где
0


const.




(3.19
)



23



Раздел 4.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА

И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ


Краткие теоретические сведения

и основные

расчетные ф
ормулы


4
.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНЫХ ЯДЕР


Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, которые имеют один
а-
ковый спин

и почти равные массы. Общее название этих частиц
-

нукл
о-
ны
. Физические свойства ядра определяются
зарядовым чи
слом

(
порядк
о-
вым номером
)
Z
, равным числу протонов в атомном ядре, и числом нейтр
о-
нов
N
. Число
А

всех нуклонов в ядре называется
массовым числом
. Очеви
д-
но, что
А =
Z

+
N
. Для о
бозначения

ядра принято слева от символа химич
е-
ского элемента указывать число ну
клонов
А

(верхний индекс)

и
заряд ядра
Z

(ни
ж
ний индекс)
. Например,

-

ядро атома алюминия, имеющего число
протонов
Z

= 13 и масс
о
вое число
А =
27.

В первом приближении форму ат
омного ядра можно с
читать

шар
ом
, р
а-
диус которого опре
деляется эмпирической формул
ой


R
=
1,
3 ·

10
-
15
·

A
1/3

м
.





(
4
.1
)


Объединение нуклонов в ядро атома осуществляется посредством яде
р-
ных сил
.

Это взаимодействие между нуклонами в ядре получило название

сильн
ого

взаимодействи
я
. Для разрушения ядра на составля
ющие его н
у
к-
лоны необходимо затратить энергию, равную
энергии связи

Е
св
. Согласно
уравнению эквивалентности массы
-
энергии, энергия покоя ядра
E
я
=
M
я
с
2
, а
энергия покоя составляющих его нуклонов равна
(
Zm
p
+
Nm
n
)
c
2
. Следовател
ь-
но:

Е
св
=
(
Zm
p
+
Nm
n

-

M
яд
)
c
2
,




(
4
.2)

где
m
p

-

масса протона,
m
n

-

масса нейтрона,
M
яд

-

масса ядра атома.

Отсюда видно, что этой энергии связи соответствует разность масс ме
ж-
ду суммарной массой отдельных нуклонов и массой ядра атома, которая
н
а
зывается
дефектом масс

.




(
4
.3)

.







24


4
.2. РАДИОАКТИВНОСТЬ


Радиоактивностью называется свойство атомных ядер самопроизвольно
(спонтанно) изменять свой состав (заряд, массовое число). При этом испу
с-
каются элементарные частицы или ядерные фрагменты. К числу радиоакти
в-
ных
процессов относят: испускание ядром электрона (
-



распад), испуск
а-
ние позитрона (
+



распад), захват ядром электрона из оболочки атома (
К



захват), спонтанное деление ядра, вылет ядра гелия (



распад) и другие
виды распадов. Радиоактивный
распад

мож
ет происходить, если превращ
е-
ние является энергетически выгодным
,
т. е. разность между массой исходного
ядра

и

суммарной массой продуктов распада положительна. Распад

часто с
о-
провождается излучением γ

-

квантов. В процессе радиоактивного распада
выполняютс
я
законы сохранения

энергии
,

электрического заряда

и

другие
(импульса, момента импульса и т.п.).

При

-

распаде из ядра спонтанно вылетает

-

частица (ядро атома г
е-
лия
). В результате зарядовое и массовое числа ядра уменьшаются
соо
т-
ветственно на две и четыре единицы, и образуется новый элемент, который в
периодической системе находится на две позиции левее исходного элемента.
При
-



распаде из ядра вылетает электрон (и антинейтрино). Массовое чи
с-
ло ядра не изменяется, а зарядов
ое возрастает на единицу. Поэтому образуе
т-
ся ядро следующего по порядку элемента в периодической системе.

Число

N

радиоактивных ядер

убывает со временем
t

по
закону

радиоа
к-
тивного распада
.

,

(
4
.
4
)

г
де

N
0

-

первоначальное число радиоактивных атомов,

-

постоянная ради
о-
активного распада, имеющая смысл вероятности распада ядра за единицу
времени. На практике используется понятие периода полураспада
-

времени,
в течение которого количес
тво нераспавшихся атомов уменьшается в два р
а-
за. Период полура
с
пада связан с постоянной распада соотношением

. (
4
.
5
)

С учетом этого основной закон радиоактивного распада (
5
.
4
) записыв
а-
ется в в
иде

. (
4
.
6
)

Число распадов радиоактивных ядер за единицу времени называется а
к-
тивностью. Очевидно, что
активность

можно предст
а
вить в виде

А =



N.





(
4
.
7
)

В системе СИ единице
й активности явл
я
ется
беккерель

(Бк)
-

1

распад в


25


секунду.

При прохождении радиоактивного излуч
е
ния через вещество плотность
его потока уменьшается.

3акон ослабления пучка моноэнергетического γ


излучения или β


ч
а-
с
тиц имеет вид

, (
4
.
8
)

где
j
0

-

плотность потока час
тиц, падающих на поверхность ве
щества,
j

-

плотность потока на глубине
х
, μ


линейный коэффициент ослабления
.

Соответственно, и
н
тенсивность

γ


излучения
I

после прохожден
ии
слоя вещества толщиной
x

опред
е
л
яется

по формуле

,







(
4
.
9
)

где
I
0

-

интенсивность γ
-

излучения, падающего на поверхность вещества.


На рис.
4
.1 приведена зависимость лине
й
ного коэффициента ослабления
от энергии γ



фото
нов для разных веществ
.



Ядерной реакцией

называется процесс, идущий при столкновении ядра
или элементарной частицы с другим ядром, в результате которого изменяется
нуклонный состав исходного ядра, а также появляются новые частицы среди
продуктов реакции
. При записи ядерной реакции слева пишется сумма и
с-
ходных частиц, затем ставится стрелка
, а за ней сумма конечных про
дуктов.
Например,


Эту же реакцию можно записать в более короткой символической форме


При рас
четах

ядерных реакций используются
зако
ны сохранения:

эне
р-
гии, импульса, момента импульса, электрического заряда и другие. Если в
μ
,

см
-
1


0,5



0,4



0,3



0,2



0,1

0 1 2 3 4 5 6 7

Е
, МэВ

Рис.
4.1




Свинец

Чугун

Бетон

Вода



26


качестве элементарных частиц в ядерной реакции фигурируют только
не
й
троны, протоны и γ


кванты, то в процессе реакции

сохраняется и число
н
у
клонов. Тогда должны соблюдаться баланс нейтронов и баланс протонов в
начальном и конечном состояниях.
Например: д
ля реакции

п
о-
лучим:


число протонов 3 + 1 = 0 + 4;


число нейтронов 4 + 0 = 1 + 3.

Пользуясь

этим правилом
,

можно идентифицировать одного из участн
и-
ков реакции, зная остальных

Разность энергий покоя начальных и конечных
частиц определяет энер
гию реакции. В более полной фор
ме рассмотренная
выше реакция записывается так:


где
Q



энергия реакции. Для ее расчета с помощью таблиц свойств ядер
сравнивают разность суммарной массы исходных участников реакции и су
м-
марной массы продуктов реакции.




Примеры решения задач


Задача 1
. Сравнить длину волн
ы

де Бройля молекулы водород
а с ее ди
а-
метром. Считать, что молекула имеет скорость, равную средней квадр
а-
тичной скорости молекул газообразного водорода при температуре 0 °С.
Диаметр молекулы водорода = 0,27нм.


Решение

Из молекулярно

кинетической теории следует, что средняя квадрати
ч-
ная скорость молекул газа определяется по формуле

v
ср.кв

,

где
k

= 1,38
.
10
-
23

Дж/К


постоянная Больцмана,
T

= 273 К


абсолютная те
м-
пература газа,
m



масса молекулы газа. С учетом этого формулу де Бройля
(1.2) запишем в виде



где
N
A

= 6,02·10
23

моль
-
1

-

число Авогадро,
М

= 0,002 кг/моль
-

молярная ма
с-
са водорода.

После подстановки этих величин и расчета получим
Б

0,11 нм. Эта
величина одного порядка с размерами молекулы водорода.




27


Задача 2.

Электрон лока
лизован в области

бесконечного

плоско
го

слоя
,
толщина которо
го

l = 25 нм. Используя
соотношение неопределенностей,

оценить кинетическую энергию электрона, при которой ее относительная
неопределенность будет порядка

= 0,01.


Решение

При локализации ч
астицы неопределенность ее координаты примерно
равна размерам области локализации.
Будем с
чита
ть
, что
x

l/2
, Δ
y

→ ∞,

Δ
z

→ ∞, а
соотношение неопределенностей (1
.
3
) для оценочных расчетов з
а-
пишем со знаком приблизительного равенства
:

. Тогда
,



и
.

Для определения взаимосвязи неопределенности кинетической энергии
T

с неопределенностью импульса возьмем дифференциал от левой и правой
частей нерелят
ивистской формулы кинетической энергии
T = p
2
/2
m

(считая,
что
)

.

В приближенных расчетах можно считать, что

.

Тогда относительную неопределенность кинетической энергии запишем
в виде

.

После подстановки в эту формулу значения неопределенности импульса
получим
.

Отсюда определим импульс

и искомое значение кинетической
энергии


,


г
де масса электрона

m

=

9,1·10
-
31
кг
. Произведем расчет


.




28


Задача
3
. Электрон локализован в одномерной прямоугольной потенц
и-
альной яме с абсолютно непроницаемыми стенками в пределах области на
оси x от 0 до l. Его состоян
ие описывается волновой функцией

.

Определить вероятность обнаружения электрона в средней четверти
ямы.

Решение

Искомую вероятность находим с помощью формулы (
1
.
7
). Предвар
и-
тельно преобразуем заданную пси функцию в соответствии с

тригонометр
и-
ческой формулой

2sin
·
cos

= sin(
-
) + sin(
+
).

Тогда

.

Анализ этого выражения показывает, что
(
x
) является суперпозицией
двух стационарных состояний (собственных функций) электрона в потенц
и-
альной яме (1
.1
0
) с

квантовыми числами
n

= 1 и
n
= 5. На рис. 4.2

приведен
график
(
x
) полученный сложением соответствующих графиков
1
(
x
) и
5
(
x
).




Рис. 4.2
.

Для определения постоянной
А

воспользуемся условием нормировки




29


.

Сделаем преобразования

.

При интегрировании используем тригонометрические равенства

2sin
2

= 1
-
cos2

и

2sin
·sin

= cos(
-
)
-

cos(
+
).

Тогда
,


,


.

После вычислений получим

или
.

Вероятность обнаружения электрона в средней четверти ямы определим
интегриров
анием плотности вероятности

в заданных пределах от
x
1

=3
l/
8 до
x
2

=5
l/
8


.

После соответствующих преобразований и вычислений получим

W

= 0,57. Этот результат качественно подтверждает график плотности вер
о-
ятности обнаружения электрона

=
2
,

приведенный на рис. 4.2
. Макс
и-
мум этой функции приходится на середину ямы.



Задача
4
. Поток электронов встречает на своем пути потенциальный
барьер в виде ступеньки высотой U
0

(рис.
1
.
1
). Считая, что все электроны
до барьера имели одинаковую кинетическую энергию T = 2U
0
:

1. Опр
еделить долю

числа

электронов, прошедших потенциальный
барьер.

2. Найти качественный вид волновой функции и функции плотн
о-
сти вероятности обнаружения электронов до и после барьера.

Решение



30


1. Доля

числа

электронов, прошедших потенциальный барьер, это отн
о-
ш
ение числа частиц, прошедших барьер за интервал времени
t

, к числу ч
а-
стиц, упавших на барьер за то же время. Для ее определения используем
формулу (
1
.1
2
). Учитывая, что
E = T =
2
U
0

, получим

.

2. До и после ступеньки потенциальная энер
гия не зависит от координ
а-
ты. В области 1 волновая функция
1
(
x
) является суперпозицией падающей и
отраженной волн де Бройля, а
2
(
x
) в области 2 соответствует только пр
о-
шедшей волне де Бройля:

, где
;

, где
.

Из условия непрерывности

функции и ее производной на границе при
x

= 0 получим


или
.

Разделив все члены этих уравнений на
A
1
, и введя обозначения



и
, находим

.

Решая эту систему уравнений, определяем




Тогда
,
.

Соответственно
,

плотности вероятности обнаружения электр
онов до и
после ступеньки равны



.



31


Задача
5
.

Электрон в атоме водорода находится в 4
-

состоянии. Какой
максимальный квант энергии может выделиться при его самопроизвольном
перехо
де в основное состояние?


Решение

Правило отбора (2.4) накладывает ограничение на прямой переход из 4
в 1s
-

состояние. Поэтому переход возможен только в два этапа: из 4 в к
а-
кое либо p
-
состояние, а затем в основное 1s. Соответственно при переходе
будет

выделено два кванта энергии. Возможными являются переходы (рис.
2
.
1
) 4d
3p
1s и 4
2p
1s. Энергия перехода определяется с помощью
формулы (4.20)

.

Ее величина будет максимальной при переходе 3p
1s (
n
i
=1,
n
j
=3). Пр
о-
изведем расч
ет





Задача
6
.

Сравнить количества теплоты, необходимые для нагревания одного
моля железа на
T = 10 К от температуры T
1
= 0 К и от температуры T
2
= 900 К. Для железа температура Дебая
D

= 470 К.


Решение.

Учитывая малое уве
личение объема железа при нагревании, первое
н
а
чало термодинамики можно записать в виде
δ
Q

=
U.

Тогда при низких
те
м
пературах, с учетом формулы (
3
.9), необходимое для нагревания колич
е-
ство теплоты будет равно


,

где
R

= 8,31 Дж/моль
.
К
-

универсальная газовая постоянная.


При расчетах учтем, что Δ(Т
4
)=(Т
1
+ΔТ)
4
-

1
)
4
.

А поскольку Т
1
=0, то в
нашем случае
Δ(Т
4
)=(
ΔТ)
4

Во втором случае можно считать, что выполняется условие
T
2
D

и
н
е-
обходимое для нагревания количество теплоты можно найти
с помощью
формулы (
3
.
8
)

.



32



Выполним расчеты:
,

Q
2

=3 ·8,31·
10=2
,
5·10
-
2

Дж.



Задача
7
.

Определить концентрацию свободных электронов в металле
при температуре Т = 0 К, если известно, что их средняя энергия рав
на


1,5 эВ.


Решение

Концентрацию свободных электронов определим с помощью формулы
(
3
.
16
) для энергии Ферми, которая связана со средней энергией свободных
электронов соотношением (
3
.
17
). После преобразований запишем расче
т-
ную формулу

.

Выполнив расчет, получим
n

= 2,1·10
28
м
-
3

.



Задача
8.

Образец из чистого полупроводника нагревают на
T = 125 К
от температуры T
1
= 250 К. При этом его удельная электрическая провод
и-
мость увеличивается в 800 раз. Как она изменится при послед
ующем нагр
е-
вании еще на
T= 125 К?

Решение

Используя формулу температурной зависимости удельной электрич
е-
ской проводимости чистого полупроводника (
3
.
19
), запишем отношение ее
значения
2

при температуре
T
2
=

T
1

+
T

к значению
1

при температуре
T
1
:


или
.

Аналогичное соотношение для значений
3

при температуре
T
3
=

T
1

+
2
T

и
2

имеет вид:


или
.

Решая полученную систему уравнений (исключ
ая ширину запрещенной
зоны
E
) , находим

.




33


Учитывая, что
T
1

+ 2
T

= 2
T
1
, упростим это выражение

.

Тогда
.



Задача
9
.

Оценить расстояние между центрами нуклонов в ядрах ато
мов.


Используя формулу (4
.1)
, определим объем ядра атома с массовым чи
с-
лом А:

V


4/3
πR
3
=

4/3
π

(1,3·10
-
15
)
3

A

= 9,2·10
-
45

A

(
м
3
).

Тогда на каждый нуклон приходится объем, равный


v


=
=
9,2·10
-
45

(
м
3
).

Принимая для простоты, что ка
ждый нуклон занимает в ядре кубич
е-
скую ячейку, оценим расстояние между центрами нуклонов, считая его ра
в-
ным стороне куба:

l



м.



Задача
10
. В хорошо откач
а
нную вакуумную камеру объёмом
V

= 1 л п
о-
местили 1кг радиоактивного полония
. В результате
α

-

распада пол
о-
ния в камере появляется газообразный гелий. Определить его давление через
час, если температура стенок камеры равна 300 К.

Решение

Для определения давления гелия используем уравнение состояния ид
е-
аль
ного газа

,

где р
-

число молей образовавшегося гелия. При каждом акте
α

-

распада яд
ра
атома полония образуется один

а
том

гелия. Поэтому число молей образ
о-
вавшегося гелия соответственно равно числу молей распавшегося полония,
к
о
торое связано с числом распавшихся атомов Δ
N

известным соотношением

,

где
N
А

-

число Авогадро.

Используя формулу (
4
.
6
) получим:

)
.

Период полураспада полония

равен 138 суткам, чт
о значительно
превышает время эксперимента, т.е. выполняется условие
t

T
1/2
. Тогда из


34


выражения для Δ
N

(используя приближенную формулу
e
-
x


1
-
x

при
x


0)
получим

.

Число радиоактивных атомов полония
N
0

определим по формуле

,

где
М



молярная масса полония (
М =
0,210 кг/моль). Таким образом, иск
о-
мое давление определим по формуле:


.


После подстановки значений величин и расчета получим
р

= 2,5 кПа.


Задача
1
1
. Точечный радиоакт
ивный источник


находится в це
н-
т
ре свинцового контейнера с толщиной стенок х = 1см и наружным ради
у-
сом
R

= 20 см. Определить максимальную активность источника, кот
о
рый
можно хранить в контейнере, если допустимая плотность потока γ
ква
н-
тов при выходе из контейнера равна 8
·
10
6

с
-
1
·
м
-
2
. Учесть, что при ка
ж
дом
акте распада ядра


испускается два γ кванта, средняя энергия кот
о-
рых
= 1,25 МэВ.

Решение

Так как при каждом акте распада испускае
тся 2γ кванта, то полный п
о-
ток излучения связан с активностью соотношением Ф

=
2
A
. Плотность пот
о-
ка на расстоянии
R

от точечного источника излучения (без защитного слоя)

.

Эта величина связана с допустимой плотностью потока снаружи к
о
н-
тейнера формулой (
4
.
8
)

.

Тогда искомая величина максимальной активности источника равна

.


По графи
к
у на рис.
4
.1 находим, что линейный коэффициент ослабления
μ
для γ
-

квантов с энергией 1,25 МэВ равен
0,64 см
-
1
. После вычислений п
о-
лучим
А
max

= 3,8 МБк.


Задача 1
2
. При бомбардировке нейтронами ядер изотопа бора

н
а
блюдается испускание α
-

частиц. Какое получается остаточное ядро?
Ра
с
считать энергию реакции.



35


Решение

Запишем уравн
ение реакции в виде

Для нее баланс
протонов 5 + 0 =
Z

+ 2, баланс нейтронов 5 + 1 =
N

+ 2. Очевидно, что
Z

= 3 и
N

= 4. Следовательно, остаточное ядро
-

. Для расчета энерги
и реакции
сравним суммы масс

яд
ра мишени и нейтрона с суммой масс образовавшихся
ядер (в а.е.м). Используя данные таблицы (см. приложения), получим:



Разность масс

а.е.м., что в пересчете соответствует
высв
о-
бождаемой энергии
Q

= 0,003
.
931,5 МэВ = 2,7945 МэВ.





36


Задачи к контрольной работе №6


Студент
-
заочник должен решить
8

(
восемь
)

задач

того варианта, номер к
о-
торого совпадает с последними
двумя

цифрами его
Шифра
. Задачи вариа
н-
та выбираются
по
т
абл
.



1.




Таблица № 1

Вар. №

00

1.14

2.12

3.2
4

4.8

5.3

6.19

7.20

8.13

01

1.3

2.5

3.15

4.4

5.6

6.24

7.21

8.2

02

1.11

2.7

3.6

4.6

5.23

6.7

7.10

8.20

03

1.13

2.5

3.19

4.24

5.20

6.19

7.11

8.3

04

1.25

2.3

3.6

4.9

5.24

6.13

7.15

8.5

05

1.5

2.22

3.21

4.10

5.12

6.2

7.12

8.10

06

1.4

2.18

3.13

4.20

5.15

6.14

7.22

8.17

07

1.22

2.17

3.8

4.24

5.8

6.4

7.16

8.4

08

1.20

2.7

3.23

4.19

5.6

6.18

7.22

8.8

09

1.21

2.23

3.16

4.10

5.7

6.14

7.21

8.2

10

1.12

2.19

3.2

4.11

5.14

6.15

7.9

8.24

11

1.25

2.5

3.9

4.24

5.15

6.17

7.21

8.2

12

1.24

2.23

3.21

4.17

5.8

6.9

7.1

8.4

13

1.14

2.22

3.20

4.16

5.16

6.19

7.6

8.12

14

1.12

2.23

3.11

4.10

5.3

6.9

7.8

8.25

15

1.17

2.20

3
.14

4.18

5.5

6.19

7.15

8.24

16

1.22

2.7

3.6

4.1

5.1

6.1

7.16

8.2

17

1.23

2.17

3.1

4.5

5.10

6.22

7.9

8.4

18

1.25

2.2

3.5

4.2
4

5.19

6.12

7.16

8.23

19

1.20

2.1

3.24

4.11

5.13

6.6

7.21

8.11

20

1.9

2.24

3.7

4.9

5.22

6.24

7.20

8.8

21

1.14

2.12

3.21

4.6

5.8

6.19

7.2

8.14

22

1.4

2.10

3.18

4.13

5.15

6.3

7.16

8.18

23

1.13

2.14

3.12

4.11

5.10

6.9

7.8

8.1



37



Продолжение табл. 1

24

1.1

2.13

3.14

4.12

5.11

6.10

7.9

8.2

25

1.2

2.
1

3.13

4.14

5.12

6.11

7.10

8.3

26

1.3

2.2

3.1

4.13

5.14

6.12

7.11

8.4

27

1.4

2.3

3.2

4.1

5.13

6.14

7.12

8.5

28

1.5

2.4

3.3

4.2

5.1

6.13

7.14

8.6

29

1.13

2.14

3.15

4.21

5.9

6.11

7.4

8.20

30

1.6

2.23

3.19

4.8

5.16

6.7

7.1

8.5

31

1.1

2.3

3.1

4.3

5.2

6.3

7.1

8.3

32

1.4

2.3

3.4

4.2

5.4

6.6

7.7

8.8

33

1.23

2.23

3.23

4.22

5.22

6.22

7.22

8.22

34

1.11

2.11

3.11

4.11

5.11

6.11

7.11

8.11

35

1.13

2.13

3.13

4.13

5.13

6.13

7.2

8.2

36

1.5

2.5

3.5

4.6

5.6

6.5

7.6

8.6

37

1.6

2.7

3.7

4.7

5.7

6.7

7.7

8.1

38

1.14

2.14

3.14

4.14

5.3

6.1

7.1

8.14

39

1.15

2.15

3.15

4.15

5.2

6.2

7.15

8.15

40

1.9

2.17

3.21

4.10

5.19

6.15

7.18

8.18

41

1.5

2.23

3.12

4.3

5.8

6.22

7.7

8.2

42

1.2

2.2

3.2

4.2

5.2

6.2

7.22

8.22

43

1.17

2.17

3.17

4.17

5.17

6.17

7.17

8.17

44

1.1

2.1

3.1

4.
1

5.18

6.18

7.18

8.1

45

1.18

2.23

3.10

4.19

5.7

6.24

7.5

8.2

46

1.13

2.12

3.16

4.1

5.11

6.16

7.4

8.13

47

1.15

2.20

3.21

4.4

5.6

6.12

7.11

8.25

48

1.9

2.7

3.5

4.2

5.3

6.9

7.17

8.18

49

1.24

2.25

3.14

4.8

5.22

6.8

7.10

8.23

50

1.12

2.17

3.23

4.21

5.2

6.
25

7.18

8.3

51

1.5

2.20

3.24

4.15

5.21

6.10

7.14

8.22

52

1.18

2.21

3.14

4.22

5.4

6.3

7.8

8.15




38



Продолжение табл. 1

53

1.20

2.14

3.16

4.6

5.19

6.15

7.24

8.23

54

1.23

2.25

3.4

4.13

5.18

6.21

7.15

8.12

55

1.19

2.23

3.4

4.21

5.8

6.6

7.3

8.7

56

1.23

2.3

3.14

4.12

5.9

6.21

7.16

8.11

57

1.1

2.1

3.3

4.4

5.5

6.6

7.7

8.8

58

1.2

2.2

3.4

4.5

5.6

6.7

7.8

8.9

59

1.3

2.3

3.5

4.6

5.7

6.8

7.9

8.10

60

1.4

2.4

3.6

4.7

5.8

6.9

7.10

8.11

61

1.16

2.21

3.23

4.8

5.15

6.3

7.18

8.24

62

1.17

2.20

3.12

4.4

5.4

6.14

7.10

8.25

63

1.19

2.7

3.18

4.13

5.9

6.11

7.17

8.23

64

1.14

2.21

3.16

4.6

5.15

6.5

7.10

8.22

65

1.10

2.14

3.23

4.21

5.24

6.6

7.20

8.17

66

1.7

2.16

3.2

4.3

5.18

6.11

7.4

8.12

67

1.22

2.9

3.8

4.2
3

5.15

6.5

7.19

8.16

68

1.4

2.23

3.2

4.8

5.10

6.2
4

7.20

8.22

69

1.5

2.14

3.16

4.18

5.13

6.17

7.9

8.12

70

1.8

2.17

3.24

4.13

5.7

6.2
3

7.14

8.2

71

1.18

2.12

3.11

4.23

5.3

6.5

7.21

8.6

72

1.15

2.11

3.23

4.3

5.9

6.16

7.20

8.22

73

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5

6.6

7.7

8.8

74

1.6

2.5

3.4

4.3

5.1

6.4

7.3

8.2

75

1.2

2.21

3.4

4.15

5.3

6.19

7.13

8.18

76

1.23

2.16

3.17

4.20

5.14

6.11

7.7

8.8

77

1.10

2.6

3.12

4.9

5.23

6.22

7.4

8.2

78

1.7

2.11

3.18

4.12

5.16

6.17

7.22

8.20

79

1.12

2.13

3.14

4.15

5
.17

6.18

7.19

8.21

80

1.3

2.4

3.5

4.6

5.7

6.10

7.11

8.12

81

1.25

2.24

3.23

4.22

5.21

6.20

7.19

8.18




39



Продолжение табл. 1

82

1.8

2.9

3.10

4.11

5.12

6.13

7.14

8.15

83

1.9

2.10

3.18

4.16

5.4

6.12

7.13

8.7

84

1.24

2.21

3.19

4.22

5.22

6.11

7.3

8.15

85

1.20

2.5

3.14

4.11

5.2

6.8

7.17

8.8

86

1.11

2.16

3.2

4.7

5.10

6.9

7.1

8.1

87

1.12

2.17

3.3

4.8

5.11

6.6

7.2

8.2

88

1.13

2.18

3.4

4.9

5.12

6.7

7.3

8.3

89

1.14

2.19

3.6

4
.4

5.13

6.23

7.4

8.4

90

1.15

2.20

3.8

4.3

5.14

6.2
1

7.5

8.5

91

1.8

2.12

3.17

4.7

5.1

6.3

7.11

8.5

92

1.4

2.22

3.16

4.21

5.18

6.23

7.6

8.9

93

1.21

2.13

3.12

4.7

5.16

6.8

7.2

8.3

94

1.20

2.14

3.11

4.8

5.15

6.19

7.1

8.4

95

1.19

2.15

3.10

4.9

5.14

6.20

7
.18

8.5

96

1.18

2.16

3.9

4.10

5.13

6.21

7.24

8.6

97

1.17

2.17

3.8

4.11

5.12

6.22

7.23

8.7

98

1.12

2.7

3.10

4.16

5.6

6.17

7.10

8.7

99

1.2

2.23

3.15

4.9

5.14

6.18

7.23

8.18
















40


1.1.

Какую длину волны де Бройля имеет электрон, выбитый в результа
те
фотоэффекта с поверхности
натрия

фотоном,
имевшим энергию
Е
ф

= 3 кэВ.

1.2.

При увеличении энергии электрона на
Т

= 200 эВ его дебройле
в-
ская длина волны изменилась в 2 раза. Найти первоначальную длину волны
электрона.

1.3.

Кинетическая

энергия электрон
а равна удвоенному значению его
энергии покоя. Вычислить длину волны де Бройля этого электрона.

1.4.

Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов
U
= 200 В,
имеет длину волны де Бройля

= 2,02 пм. Найти массу частицы, если ее з
а-
ряд численно равен
заряду электрона.

1.5.

На две очень тонкие щели, расположенные друг от друга на рассто
я-
нии
d

= 10 мкм, падает пучок электронов с энергией
Т

= 1 эВ. Каково ра
с
ст
о-
яние между соседними минимумами в центре интерференционной карт
и
ны
на экране, находящемся в 10
м от щелей?

1.6.

При какой скорости длина волны де Бройля электрона равна его
комптоновской длине волны?

1.7.

Попавший в металл нейтрон находится в тепловом равновесии с
о
к
ружающей средой при комнатной температуре
Т

= 300 К (такой нейтрон
н
а
зывается теплов
ым). Следует ли учитывать его волновые свойства при вз
а-
и
модействии с кристаллической решеткой, если расстояние между узлами
р
е
шетки равно 0,5 нм? При расчетах принять, что нейтрон имеет среднюю
квадратичную скорость.

1.8.

Для исследования строения атомов

Резерфорд обстреливал их


-

частицами. Допустимо ли не учитывать волновые свойства

-

частиц с
кинетической энергией
T

= 7,7 МэВ, если прицельное расстояние (наимен
ь-
шее расстояние от линии прицела до ядра атома) порядка 0,1 нм?

1.9.

Определить

дополнительную энергию, которую необходимо соо
б-
щить протону с кинетической энергией
T

= 1 кэВ, чтобы длина волны

де Бройля уменьшилась в 3 раза.

1.10.

Определить радиус окружности, по которой движется протон в о
д-
нородном магнитном поле с индукци
ей
B

= 15 мТл, если его длина волны

де Бройля равна 197 нм.

1.11.

Определить энергии фотона и электрона, если длина волны того и
другого равна 0,1 нм.

1.12.

В рентгеновской трубке энергия бомбардирующих антикатод эле
к-
тронов вся или частично переходит в

энергию излучения рентгеновских
квантов. Определить длину волны де Бройля электронов, если минимальная
длина волны рентгеновских квантов

= 3 нм.

1.13.

Протон, электрон и фотон имеют одинаковую длину волны


= 0,1 нм
.
Определить соотношение
их скоростей.

1.14.

Параллельный поток моноэнергетических электронов падает но
р-
мально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины
b
= 1,0мкм.
О
п
ределить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на


41


расстояние
l

= 50 см, ширина централ
ьного дифракционного максимума ра
в-
на 0,36 мм.

1.15.

Определить кинетическую энергию электрона, если его длина во
л-
ны де Бройля равна 1 пм.

1.16.

На какую кинетическую энергию

электронов

должен быть рассч
и-
тан ускоритель, чтобы можно было исследовать структур
ы с линейными ра
з-
мерами
l

10
-
15

м?

1.17.

Какую разность потенциалов должен пройти электрон из состояния
покоя, чтобы его длин
а

волны стала равной 0,16 нм?

1.18.

В модели Бора электрон движется вокруг ядра атома водорода по
круговой орбите. Считая радиус

орбиты равным 0,053 нм, определить длину
волны де Бройля этого электрона.

1.19.

Электрон движется по окружности радиусом
r

= 0,5 см в одноро
д-
ном магнитном поле с индукцией
B

= 8 мТл. Определить его дебройлевскую
длину волны.

1.20.

Какую энергию необходимо

дополнительно сообщить электрону,
чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50пм?

1.21.

Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон,
чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1 мкм?

1.22.

Фотоэффект вызывается

с поверх
ности лития

фотонами с длиной
волны

=
0,3 нм. Какую длину волны де Бройля имеют фотоэлектроны?

1.23.

Чему равна скорость атома гелия, если его длина волны де Бройля
равна 0,1 нм?

1.24.

Электрон и фотон имеют каждый энергию
,

равную 1 эВ. Во сколько
раз ра
зличаются их длины волн?

1.25.

Во сколько раз различаются длины волн де Бройля протона и эле
к-
трона, если они имеют одинаковую кинетическую энергию
T
= 0,511МэВ?


2.1.

Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину одн
о-
мерной потенциальной ямы, в к
оторой минимальная энергия электрона равна
10 эВ.

2.2.

Положение свободного электрона определено с точностью до 1мкм.
Чему равна неопределенность в его скорости?

2.3.

Поток электронов с дебройлевской длиной волны

= 11 мкм падает
нормально на прямоугольну
ю щель шириной
b

= 0,1 мм. Оценить с пом
о-
щью соотношения неопределенностей угловую ширину пучка за щелью (в
угловых градусах).

2.4.

Используя соотношение неопределенностей
,

оценить энергию эле
к-
трона в том случае, если бы он находился внутри ядра. Линейные

размеры
ядра принять равными 5
.
10
-
15

м. Сравнить полученное значение с энергией
связи, приходящейся на один нуклон в ядре
E
св
= 10 МэВ.

2.5.

Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, движущ
е-
гося внутри сферической области диаметром
d

= 0,1 нм.

2.
6.

Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относител
ь-
ную неопределенность кинетической энергии порядка 1,6
.
10
-
4
. Оценить, во


42


сколько раз неопределенность координаты такой частицы больше ее дебро
й-
левской длины волны.

2.7.

Оценить наименьшие погре
шности, с которыми можно определить
скорости электрона и протона, локализованных в области размером 1 мкм.

2.8.

Протон в ядре локализован с точностью до размеров, равных ради
у-
су ядра. Чему равна неопределенность в скорости протона, находящегося в
ядре атом
а железа (
R

6
.
10
-
13

см)?

2.9.
Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре равна 10МэВ, оц
е-
нить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.

2.10.

Определить неточность
x

в определении координаты электрона,
движущегося в атоме вод
орода со скоростью
V

= 1,5 Мм/с, если допустимая
неточность
V

в определении скорости составляет 10% от ее величины.

2.11.

Можно считать, что электрон в атоме водорода заключен в сфер
и-
ческой области вокруг ядра радиусом
r

= 0,05 нм. С помощью соотношения
н
еопределенностей оценить кинетическую энергию электрона.

2.12.

Минимальная энергия

-

частицы, находящейся в бесконечно гл
у-
бокой потенциальной яме, равна 8 МэВ. Оценить ширину ямы.

2.13.

Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше н
е-
о
п
ределенн
ости
x

ее координаты, которая соответствует относительной н
е-
о
п
ределенности импульса в 1%?

2.14.

Чему равна неопределенность в энергии нейтрона, находящегося в
ядре атома платины, если принять, что нейтрон локализован с точностью до
размеров, равных радиус
у ядра (
R

9
.
10
-
13

см)?

2.15.

Электрон с кинетической энергией
T

= 10 эВ локализован в области
размером
l

= 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости
электрона.

2.16.

Определить относительную неопределенность импульса
p/p

дв
и-
жущейся частицы
, если допустить, что неопределенность ее координаты ра
в-
на длине волны де Бройля.

2.17.

Измерение относительной неопределенности скорости локализ
о-
ванного в некоторой области электрона, ускоренного напряжением
U
= 10 В,
дало величину 0,01. Оценить размер обл
асти локализации.

2.18.

Исходя из того, что радиус атома водорода имеет величину порядка
0,1 нм, оценить скорость движения его электрона.

2.19.

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимал
ь-
ную кинетическую энергию электрона, локализованного в об
ласти размером
l
= 0,2 нм.

2.20.

Показать, что для частицы, неопределенность местоположения к
о-
торой
x =
Б
/2
, где
Б

-

ее дебройлевская длина волны, неопределенность
скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

2.21.

Пучок моноэнергетическ
их электронов падает на щель шириной


а

= 10 нм. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его
координата в направлении поперек движения известна с неопределенностью


43


y

=
а

. Оценить получаемую при этом относительную неточность в опред
е-
лении и
мпульса, если энергия электрона
T
= 10 эВ.

2.22.

При движении вдоль оси
x

скорость оказывается определенной с
точностью
V
x

= 1 см/с. Оценить неопределенность координаты
x

: а) для
электрона, б) для броуновской частицы массы
m

10
-
10

г, в) для дробинки
м
ассы
m

0,1 г.

2.23.

Прямолинейная траектория частицы в камере Вильсона представл
я-
ет собой цепочку малых капелек тумана, поперечный размер которых

d


1 мкм. Можно ли, наблюдая след электрона с кинетической энергией

T

= 1 кэВ, обнаружить
отклонение в его движении от классических законов?
Ук
а
зание: оценить угловой разброс импульса
p
y
/p
x
.

2.24.

Электрон с кинетической энергией
T
= 15 эВ находится в металл
и-
ческой пылинке диаметром
d

= 1 мкм. Определить относительную нето
ч-
ность, с которой мо
жет быть определена скорость электрона.

2.25.

Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить ск
о-
рости электрона, протона и шарика массы
m

= 1 мг, если координаты частиц
и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.


3.1.

Электрон находитс
я в одномерной бесконечно глубокой
прям
о-
угольной
потенциальной яме шириной
l

=

0.5

нм. Найти разность энергий
Δ
Е
n+1
,
n

между соседними энергетическими уровнями, если
n

= 1.Ответ выр
а-
зить в электрон
-
вольтах.

3.2.

Электрон находится в одномерной

бесконечно гл
убокой

прям
о-
угольной
потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энерг
е-
тических уровней Δ
Е
n+1
,
n

к энергии
Е
n

эт
о
го электрона, если
n

= 2.

3.3
.

Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического о
с-
циллятора. Учесть, что сила, возвращающ
ая частицу в положение равнов
е-
сия ,
F
=
-
кx

( где
к
-

коэффициент пропорциональности,
х
-

смещение).

3.4.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

=

0.6

нм. Найти разность энергий
Δ
Е
n+1
,
n

между соседн
ими энергетическими уровнями, если n =
2
. Ответ выр
а-
зить в электрон
-
вольтах.

3.5
.

Собственная функция, описывающая состояние частицы в одноме
р-
ной

бесконечно глубокой

прямоугольной

потенциальной яме, имеет вид
Ψ
n
(
х
)

=

С
sin
х
. Используя
условие но
р
мировки, определить постоянную
С
.

3.6.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

=

0.4

нм. Найти разность энергий
Δ
Е
n+1
,
n

между соседними энергетическими уровнями, если
n

= 3. Ответ выр
а-
зить в

электрон
-
вольтах.

3.7
.

Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в в
о-
дородоподобном атоме.

3.8.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной
потенциальной яме шириной
l

=

0.5

нм. Найти разность энергий


44


Δ
Е
n+1
,
n

между со
седними энергетическими уровнями, если
n

= 4. Ответ выр
а-
зить в электрон
-
вольтах.

3.9
.

В одномерной

бесконечно глубокой

прямоугольной

потенциальной
яме шириной
l

находится электрон. Вычислить вероятность нахождения
электрона на втором энергетическом уровне

в интервале ¼
l
,

равноудале
н-
ном от стенок ямы


3.10.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в возбужденном состоянии на вт
о-
ром энергетическом уровне (
n

= 2). Определить, в каких точках интервала
(0
х

l
) плотность вероятности нахождения электрона имеет максимальное
значение.

3.11.

Частица находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в возбужденном состоянии на вт
о-
ром энергетическом уровне (
n

= 2). Определить, в к
аких точках интервала
(0
х

l
) плотность вероятности нахождения частицы имеет минимальное зн
а-
чение.

3.12.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в основном состоянии. Вычислить
вероятность нахождения
электрона в первой половине ямы (0<
x

l
/2).

3.13
.

Вычислить отношение вероятностей
W
1

/
W
2

нахождения электрона
на первом и на втором энергетических уровнях, в интервале ¼
l
, равноуд
а-
ленном от стенок
(т. е. находящемся по центру)

одномерной

бесконечно гл
у-
бок
ой

прямоугольной

потенциальной ямы.

3.14.

Частица находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в основном состоянии. Определить
вероятность нахождения частицы во второй половине ямы (
l
/2
x

l
).

3.15.

Электрон находитс
я в одномерной

бесконечно глубокой

потенц
и-
альной яме шириной
l

в возбужденном состоянии на втором энергетическом
уровне (
n

= 2). Вычислить вероятность нахождения электрона в первой пол
о-
вине ямы (0<

x


l
/2).

3.16.

Электрон находится в одномерной

бесконечно
глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в возбужденном состоянии на вт
о-
ром энергетическом уровне (
n

= 2). Найти вероятность нахождения электрона
во второй половине ямы (
l
/2

x


l
).

3.17.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в возбужденном состоянии на трет
ь-
ем энергетическом уровне (
n

= 3). Вычислить вероятность нахождения эле
к-
трона в интервале (0<

x


l
/3).

3.18
.

Частица находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциально
й яме шириной
l

в возбужденном состоянии на трет
ь-
ем энергетическом уровне (
n

= 3). Определить вероятность нахождения ч
а-
с
тицы в интервале (
l
/3

x

2
l
/3).

3.19
.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в
возбужденном состоянии на трет
ь-


45


ем энергетическом уровне (n=3). Вычислить вероятность нахождения эле
к-
трона в интервале (2
l
/3

x


l
)
.

3.20
.

Электрон находится в бесконечно глубокой прямоугольной одн
о-
мерной потенциальной яме шириной
l
. Написать уравнение Шр
едингера и
его решение (в тригонометрической форме) для области внутри ямы.

3.21.

Электрон находится в одномерной
бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энерг
е-
тических уровней Δ
Е
n+1
,
n

к энергии
Е
n

этого эл
ектрона, если
n

= 3.

3.22.

Частица находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энерг
е-
тических уровней Δ
Е
n+1
,
n

к энергии
Е
n

этой частицы, если
n

= 5.

3.23
.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

. В каких точках в интервале (0<
х

l
)
плотность вероятности нахождения электрона на первом и на втором энерг
е-
тических уровнях одинакова?

3.24.

Электрон находится в одномерной

бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энерг
е-
тических уровней Δ
Е
n+1
,
n

к энергии
Е
n

этого электрона частицы, если
n

= 4.

3.25
.

Частица находится в одномерной
бесконечно глубокой

прям
о-
угольной

потенциальной яме шириной
l

в возбуж
денном состоянии на вт
о-
ром энергетическом уровне (
n

= 2). Определить вероятность нахождения ч
а-
с
тицы в интервале (0<

x


l
/4).



4.1.

Позитрон , имеющий кинетическую энергию
T

= 6 эВ, встречает на
своем пути прямоугольный потенциальный барьер (рис.
1
.2) высо
той

U
0
= 12 эВ и шириной
l

= 1 нм. Какова должна быть энергия протона, чтобы
вероятность его прохождения этого же барьера была такой же
,

как у поз
и-
трона?

4.2.

Моноэнергетический поток электронов (
E

= 100 эВ) падает на ни
з-
кий потенциальный барьер

в виде ступеньки (рис.
1
.1). Определить высоту
потенциального барьера, если известно, что 4% падающих на барьер эле
к-
тронов отражается.

4.3.

Электрон с энергией
E

= 4,9 эВ движется в положительном напра
в-
лении оси

x
, встречая на своем пути прямоугольный пот
енциальный барьер
высотой
U
0

= 5 эВ (рис.
1
.2). При какой ширине барьера вероятность прохо
ж-
дения электрона через него будет равна 0,2?

4.4.

Коэффициент отражения протона от потенциального барьера в виде
ступеньки (рис.

1
.1) равен 2,5
.
10
-
5
. Определить, какой

процент составляет в
ы-
сота барьера от кинетической энергии падающих на барьер электронов.

4.5.

Две частицы, позитрон и протон, обе с энергией
E

= 5 эВ, движутся в
положительном направлении оси
x
, встречая на своем пути прямоугольный
потенциальный барьер вы
сотой
U
0

= 10 эВ.Ширина барьера
l

= 1 пм

(рис.1.2)

Определить отношение вероятностей прохождения частицами этого барьера.



46


4.6.

Прямоугольный потенциальный барьер (рис.
1
.2) имеет ширину

l

= 0,1 нм. При какой разности
U
0

-

E

вероятность прохождени
я электрона
ч
е
рез барьер равна 0,99?

4.7.

Электрон, имеющий кинетическую энергию
T

= 7 эВ, встречает на
своем пути потенциальную ступеньку высотой
U
0

= 7,1 эВ

(рис.1.1)

Опред
е-
лить расстояние от границы ступеньки до точки в области
2
, в которой пло
т-
ность ве
роятности обнаружения электрона уменьшается в “e” раз по сравн
е-
нию с плотностью вероятности на границе.

4.8.

Определить показатель преломления волн де Бройля при прохожд
е-
нии частицей потенциального барьера в виде ступеньки (рис.

1
.1) с коэфф
и-
циентом отра
жения
R

= 0,5.

4.9.

При какой ширине прямоугольного потенциального барьера (рис.
1
.2)
коэффициент прозрачности для электронов равен 0,01, если разность энергий
U
0

-

E

= 10 эВ?

4.10.

Кинетическая энергия электрона в два раза превышает высоту п
о-
тенциального б
арьера в виде ступеньки (рис.

1
.1). Определить коэффициент
отражения электронов от барьера.

4.11.

Ширина прямоугольного потенциального барьера (рис.

1
.2) равна
0,2 нм. Полная механическая энергия налетающего на него электрона на 1 эВ
меньше высоты барьера
. Во сколько раз изменится вероятность прохождения
электрона через барьер, если эта разность энергий возрастет в 10 раз?

4.12.

Электрон с энергией
E

= 10 эВ движется в положительном напра
в-
лении оси

x
, встречая на своем пути потенциальный барьер в виде ст
упеньки
(рис.
1
.1). Определить высоту барьера, при которой показатель преломления
волн де Бройля и коэффициент отражения числен
н
о совпадают.

4.13.

Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер
шириной
l

= 0,5 нм (рис.

1
.2). Высота
U
0

барьера б
ольше энергии
E

электр
о-
на на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности барьера, если энергия эле
к-
трона: 1)
E

= 10 эВ ; 2)
E

= 100 эВ.

4.14.

Коэффициент отражения электронов от потенциального барьера в
виде ступеньки

(рис. 1.1)

равен коэффициенту прохождения.
Определить, во
сколько раз кинетическая энергия налетающих на барьер электронов больше
высоты потенциального барьера.

4.15.

Протон с энергией
E

= 5 эВ движется в положительном направл
е-
нии оси

x
, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер в
ы-
с
отой
U
0

= 10 эВ и шириной
l
= 0,1 нм

(рис.1.2)
. Во сколько раз необходимо
сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же,
как для позитрона при вышеприведенных условиях?

4.16.

Энергия электронов
E

в три раза превышает высоту потенц
иального
барьера в виде ступеньки (рис.

1
.1). Определить коэффициент прохождения
электронов через барьер.

4.17.

Коэффициент прохождения протонов через потенциальный барьер
в виде ступеньки (рис.

1
.1) равен 0,8. Определить показатель преломления
волн де Бр
ойля на границе барьера.



47


4.18.

Электрон с энергией
E

= 100 эВ проходит через потенциальный б
а-
рьер в виде ступеньки

(рис. 1.1)

высотой
U
0

= 64 эВ. Определить вероя
т
ность
того, что электрон отразится от барьера.

4.19.

Разность между высотой прямоугольного по
тенциального барьера и
полной механической энергией пролетающего через него электрона равна

5 эВ. Ширина барьера
l

= 0,1 нм

(рис.

1.2)
. Во сколько раз изменится коэ
ф-
фициент прозрачности потенциального барьера для электрона, если разность
вышеназванных
энергий возрастет в 4 раза?

4.20.

В грубом приближении можно считать, что при попытке покинуть
ядро некоторого атома
-
частица встречает на своем пути потенциальный
барьер в виде ступеньки высотой
U
0

= 10 МэВ (рис.
1
.1). Какой должна быть
кинетическая эне
ргия
-
частицы, чтобы плотность вероятности ее обнар
у-
жения в точке с координат
ой

x

= 0,1 нм была в два раза меньше, чем на гр
а-
нице ступеньки?

4.21.

Электрон встречает на своем пути прямоугольный потенциа
льный
барьер шириной 0,1 нм

(рис.1.2)
. На

сколько вы
сота барьера больше энергии
электрона, если коэффициент прозрачности равен 0,001?

4.22.

Частица массой
m

= 10
-
19

кг, двигаясь в положительном направл
е-
нии оси
x

со скоростью

V

= 20 м/с, встречает на своем пути потенциальный
барьер в виде ступеньки (рис.

1
.1
) высотой
U
0

= 100 эВ. Определить коэфф
и-
циент отражения для таких частиц на границе барьера.

4.23.

Процесс
-
распада ядра можно смоделировать как прохождение

-
частицей через прямоугольный потенциальный барьер высотой

U
0

= 10 МэВ и ширин
ой
l

= 10
-
15

м

(рис.

1.2)
. Найти коэффициент прозрачн
о-
сти бар
ь
ера для
-
частиц, имеющих энергию
E

= 5 МэВ.

4.24.

Электрон с энергией
E

= 50 эВ, двигаясь в положительном напра
в-
лении оси
x
, встречает на своем пути потенциальный барьер в виде ступеньки
(рис.

1
.1) высотой
U
0

= 20 эВ. Определить вероятность отражения электрона
от этого барьера.

4.25.

Протон и позитрон прошли одинаковую ускоряющую разность п
о-
тенциалов

= 10 кВ и встретили на своем пути прямоугольные потенц
и-
альные барьеры одинаковой высоты
U
0

= 20 кэВ и ширины
l

= 0,1 пм


(рис.

1.2).

Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности для поз
и-
трона и прот
о
на
?


5.1.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 4р состоянии.
Найдите минимальный квант энергии, который необходим для пер
евода
электрона в одно из состояний с большей энергией.

5.2.

Электрон в атоме водорода находится в возбужденном 4
f

состоянии.


Найдите максимальный квант энергии, который может выделиться при
переходе электрона в одно из низших состояний.

5.3.
Найти на
ибольшую и наименьшую длину волны в инфракрасной с
е-
рии линий спектра излучения атома водорода (серия Пашена).



48


5.4.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 5
d

состоянии.
Найдите минимальный квант энергии, который может выделиться при пер
е-
ходе эл
ектрона в одно из низших состояний.

5.5.

Найдите минимальный квант энергии, который может выделиться
при переходе электрона в атоме водорода в одно из низших состояний, если
электрон находился в возбуждённом 5
s

состоянии.

5.6
.

Определить наибольшую и наи
меньшую энергию фотонов в инфр
а-
красной серии линий спектра излучения атома водорода (серия Пашена).

5.7.

Определить минимальное значение кванта энергии, который может
выделиться при переходе электрона в атоме водорода в одно из низших с
о-
стояний, если элект
рон находился в возбуждённом 3
d

состоянии.

5.8.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 4р состоянии.
Определить минимальную величину кванта энергии, который необходим для
перехода электрона в одно из состояний с большей энергией.


5.9.

Определи
ть частоту излучаемого фотона при переходе электрона из
3р в 1
s

состояние в атоме водорода.


5.10.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 2р состо
я-
нии. Определить минимальную величину кванта энергии, который необх
о-
дим для перехода электрона в о
дно из состояний с большей энергией.


5.11
. Найти длину волны фотона
, испускаемого при переходе электрона в
атоме водорода из 2р в 1
s

состояние.

5.12
. Определить частоту излучаемого фотона при переходе электрона из
3р в 2
s

состояние в атоме водорода.


5.
13.

Определить минимальное значение кванта энергии, который м
о-
жет выделиться при переходе электрона в атоме водорода в одно из низших
состояний, если электрон находился в возбуждённом 3
s
-
состоянии.


5.14
.

Найти наибольшую и наименьшую энергию фотонов в
спектре и
з-
лучения атома водорода для серии Бальмера.

5
.15.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 2
s

состо
я-
нии. Определить минимальную величину кванта энергии, который необх
о-
дим для перехода электрона в одно из состояний с большей энергией.

5.1
6
.

Найти наибольшую и наименьшую длину волны в ультрафиолет
о-
вой серии линий спектра излучения атома водорода (серия Лаймана).

5.17.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 5
d

состо
я-
нии. Найдите максимальный квант энергии, который может выделитьс
я при
пер
е
ходе электрона в одно из низших состояний.

5.18
.

Вычислить наибольшую и наименьшую энергию фотонов в ультр
а-
фиолетовой серии линий спектра излучения атома водорода (серия Лаймана).

5.19.

Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии. Оп
р
е-
делить минимальную величину кванта энергии, который необходим для п
е-
ревода электрона в одно из состояний с большей энергией.

5.20.

В атоме водорода электрон находится в возбужденном 3
s

состо
я-
нии. Найдите минимальный квант энергии, который может выдели
ться при
пер
е
ходе электрона в одно из низших состояний.



49


5.21
.

Найти наибольшую и наименьшую длину волны в спектре излуч
е-
ния атома водорода для серии Бальмера.

5.22
.

Определить длину волны фотона , испускаемого при переходе эле
к-
трона в атоме водорода из 3р

в 1
s

состояние.

5.23.

Найдите минимальный квант энергии, который может выделиться
при переходе электрона в атоме водорода в одно из низших состояний, если
электрон находился в возбуждённом 5
s

состоянии.


5.24.

В атоме водорода элект
рон находится в возбужд
енном 3р

состо
я-
нии. Найдите минимальный квант энергии, который необходим для перевода
электрона в одно из состояний с большей энергией.

5.25
. Определить первый потенциал возбуждения атома водорода.



6.1
. Вычислить удельные теплоёмк
ости кристаллов алюмини
я и меди

по
классической теории теплоёмкости.

6.2
.

Используя классическую теорию теплоёмкости, определить удел
ь-
ные теплоёмкости кристаллов
NaCl

и
CaCl
2
.

6.3
. Определить по классической теории теплоёмкость кристалла
AlBr
3
объёмом
V

= 1 м
3

.Плотность к
ристалла
ρ
= 3.01·10
3

кг/м
3

.

6.4.
Вычислить среднее значение энергии классического линейного га
р-
монического осциллятора при Т = 300 К.

6.
5
.
Определить изменение энергии
U

системы, состоящей из
N

= 10
25

квантовых трехмерных осцилляторов, при повышении тем
пературы от

T
1
=

250
K

до

Т
2

=
θ
D

=
300 К.

Использовать квантовую теорию теплоёмкости

Д
е
бая
.

6.
6
. Опред
елить относительную погрешность
,

которая допущена
,

если
при вычислении теп
лоёмкости
твердого тела
С вместо значения
,

даваемого
теорией Дебая (при Т
= θ
D

),

воспользоваться значением, даваемым законом
Дюлонга и Пти.

6.
7
. Найти максимальную частоту ω
max

собственных колебаний в кр
и-
сталле золота по теории Дебая. Характеристическая температура золота θ

равна 180 К.

6.
8
. Определить максимальную частоту ω

max

c
обственных колебаний в
кристалле меди по теории Дебая. Характеристическая температура меди θ
D

равна 320 К .

6.
9
.

При изменении температуры чистого полупроводника от значения
Т
1
=

300 К до Т
2
=

400 К его удельная электропроводимость
σ

выросла в 5,2

раза. Найдите ширину запрещенной зоны полупроводника.

6.1
0
. При изменении температуры чистого полупроводника от значения
Т
1
=

4
00 К до Т
2
=

5
00 К
собственная концентрация носителей заряда
n

выро
с-
ла в 37,5 раз
. Найдите
уровень Ферми, отсчитанный от верхней
границы в
а-
лентной зоны
.


6.1
1
. При нагревании чистого полупроводника от значения Т
1
=800 К до
некоторого Т
2

его электрическое сопротивление
R


выросло в 6 раз. Зная, что


50


уровень Ферми, отсчитанный от верхней границы валентной з
о
ны,
E
F
=
0.7 эВ,
найдите темп
ературу Т
2

.

6.1
2
. При

нагревании
чистого полупроводника от значения Т
1
=400 К до
Т
2
=500 К

его удельная электрическая проводимость выросла в 10 раз
.
На
й
дите уровень Ферми, отсчитанный от верхней границы валентной з
о
ны.

6.1
3
. Определить температуру, при ко
торой средняя кинетическая эне
р-
гия молекул идеального газа равна энергии свободных электронов в меди при
температуре
Т
= 0 К.

6.1
4
. Найти концентрацию
n

свободных электронов в металле при те
м-
пературе
Т
= 0 К. Энергию Ферми
E
F

принять равной 1эВ.

6.
15
. Опре
делить отношение концентраций
n
1
/
n
2

свободных электронов
при
Т
=0 К в литии и цезии, если известно ,что уровни Ферми в этих металлах
соответственно равны
Е
F
1

= 4.72 эВ,
Е
F
2

= 1.53 эВ.

6.
16
. Найти число свободных электронов, которое приходится на один
атом

натрия при температуре
Т
= 0 К. Уровень Ферми для натрия
Е
F

=3.12 эВ
.

Плотность ρ натрия равна 970 кг/м
3
.

6.17
. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на
один атом металла при
Т
= 0 К, больше в алюминии, чем в меди, если уровни
Ферми соо
тветственно равны
Е
F

Al

= 11.7 эВ и
Е
F

Cu

= 7.0 эВ? Плотность ал
ю-
миния
ρ
= 2700 кг/м
3
, плотность меди
ρ
= 8900 кг/м
3
.

6.
18
. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле
при температуре
Т
= 0 К, если уровень Ферми
Е
F

= 7эВ.

6.
19
. Определит
ь концентрацию свободных электронов в металле, если
их средняя кинетическая энергия при температуре
Т
= 0К такая же, как и у
м
о
лекул идеального газа при температуре
Т
= 30000 К.

6.
20
. Найти суммарную кинетическую энергию свободных электронов в
V

= 1см
3
з
олота при температуре
Т
= 0 К. Плотность золота
ρ
= 19600 кг/м
3
.

6.21.
Оцените плотность ядерного вещества и концентрацию нукл
о
нов в
ядре атома
.

6.22.
Оцените плотность ядерного вещества и концентрацию нуклонов в
ядре атома
.

6.23.
Оцените
объемную п
лотность
электрического заряда

и концентр
а-
цию нуклонов в ядре атома
.

6.24.
Оцените плотность ядерного вещества и концентрацию нуклонов в
ядре атома


.

6.25
Оцените
о
бъемную п
лотность
электрического заряда

и концентр
а-
цию нуклонов в ядре атома
.


7.1.

Найти период полураспада радиоактивного изотопа, если его акти
в-
ность за 10 суток уменьшилась на 24% по сравнению с первоначальной.

7.2.

Определить,
какая доля радиоактивного изотопа

распадается в
течение 6 суток.



51


7.3.

Определить число атомов радиоактивного препарата йода

ма
с-
сой
m

= 0,5 мкг, распавшихся в течение минуты.

7.4.

Определить активность радиоакти
вного препарата

массой

m

= 1 мкг.

7.5.

Найти среднюю продолжительность жизни атомов радиоактивного
изотопа кобальта
.

7.6.

Определить массу изотопа
, имеющего активность 37 ГБк.

7.7
.

Из каждого миллиона атомов некоторого радиоактивного изотопа
каждую се
кунду распадается 200 атомов. Определить период полураспада
этого изотопа.

7.8.

Счётчик
α

-

частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа
,

при первом измерении за одну минуту за
регистрировал 1406 частицы, а через
4 часа только 400 частиц за минуту. Определить период полураспада этого
изотопа.

7.9.

Какова вероятность того, что данный атом в изотопе радиоактивного
йода

распадается в течение ближайшей секунды?

7.10.

Какая часть начального количества радиоактивного изотопа расп
а-
дается за время, равное средней продолжительности жизни атомов этого из
о-
топа?

7.11
. Найти массу урана
, имеющего такую же активность, как
стр
онций

массой 1 мг.

7.12
. На сколько процентов снизится активность изотопа иридия

за
30 суток?

7.13.

За сутки активность изотопа уменьшилась от 118 ГБк до 7,4 ГБк.
Определить период полураспада этого изотопа.

7.14
. Активность препарата уменьшилась в 250 раз. Скольким периодам
полураспада равен прошедший промежуток времени?

7.15.

Какое количество радиоактивного препарата изотопа радия

имеет активность 1 кюри?

7.16
. Чтобы определить возраст

древней ткани, найденной в одной из
египетских пирамид, была определена концентрация в ней атомов ради
о-
у
г
лерода
. Она оказалась соответствующей 9,2 распадам в минуту на
один грамм углерода. Концентрация

в живы
х растениях соответствует
14,0 распадам в минуту на один грамм углерода. Оценить возраст ткани.

7.17.

Определить начальную активность радиоактивного препарата ма
г-
ния
массой
m

=
0,2 мкг, а также его активность через 6 часов.

7.18.

И
меется пучок нейтронов с кинетической энергией 0,025 эВ. Какая
доля нейтронов распадается на длине пучка 2м?

7.19.

В кровь человека ввели небольшое количество раствора, со
-
держащего изотоп

активностью
А =

2,1
·
10
3

Бк. Акти
в
ность 1см
3

кро
ви,


52


взятой через 5 часов после этого, оказалась равной 0,28 Бк. Найти объем кр
о-
ви
в организме
человека.

7.20.

Определить массу свинца, который образуется из 1 кг

за п
е-
риод, равный возрасту Земли (2,5
·
10
9

лет).

7.21.

Найти вероятн
ость распада радиоактивного ядра за время
,
где
λ

-

его постоянная распада.

7.22.

За какой промежуток времени из 10
7

атомов

распадается один
атом?

7.23.

Вычислить постоянную распада радиоактивного нуклида, акт
и
в-
ность которого уменьшается в 1,07 раза за 100 суток.

7.24.

Определить возраст древних деревянных предметов, у которых
удельная активность радиоуглерода

в два раза меньше удельной акти
в-
ности этого же нуклида в только что срубленных
деревьях.

7.25.

Препарат содержит 1,4 мкг радиоактивного изотопа

. Какую
активность будет иметь препарат через сутки?




53


8.1
-
8.25.

В табл.
2

приведены ядерные реакции, соответствующие вар
и-
анту задания. Определить недостающее в записи
ядро или частицу и энергию
реакции.

Проставьте зарядовые числа

у реагирующих ядер и продуктов реа
к-
ции.

Таблица
2

Номер задачи

Ядерная реакция

8.1


8.2


8.3


8.4


8
.5


8.6


8.7


8.8


8.9


8.10



8.11


8.12


8.13


8.14


8.15


8.16


8.17


8.18


8.19


8.20


8.21



8.22


8.23


8.24


8.25













54



Приложения




Приложение
1


Плотность
ρ

и молярная масса
М

некоторых металлов



Металл


ρ
, кг/м
3


М
, кг/моль



Литий


Калий


Рубидий


Цезий


Медь


Серебро


Золото




530



870


1530


1870


8900


10500


19300



0,0069


0,0391


0,0855


0,1329


0,0635


0,1079



0,1970



Периоды полураспада радиоактивных изотопов

элемент

Символ

изотопа

Период пол
у-
распада


элемент

Символ

изотопа

Период п
о-
лурасп
а
да

Нейтрон


п



11,7 мин


Йод



8 сут

Углерод



5570

лет



Иридий



75 сут.

Натрий


18 час


Полоний


138 дней

Магний


10 мин


Радий



1820 лет

Кобальт



5,3 года


Ак
тиний



10 сут

Стронций



28

лет


Уран


4,5·10
9
лет





55



Приложение 2

Массы н
екоторых нуклидов


Z


Нуклид

Масса (а.е.м.)


Z


Нуклид

Масса (а.е.м.)

0

п

1,00867


6


12,00000

1


1,00783


6


13,00335

1


2,01410


6


14,0
0324

1


3,01605


7


13
,
00574

2


3,01603


7


14
,00307

2


4,00260


7


15
,00011


3


6,01513


8


15,00307


3


7,01601



8


15,99491

4


7,01693



8


16,99913


4


8,00531



8


17,99916


4


9,01219



9


18
,00095


5


9,01333



9


1
8,99840

5


10,01294


9


19,99998

5


11,00931


10


19,99244








Приложенные файлы

  • pdf 15167612
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий