Домашнее задание к 11.02.2013. Львовская, понедельник. 1. Блоха прыгает по плоскости, совершая прыжки одной и той же длины, но поворачивая каждый раз на 1 градус влево или вправо от предыдущего

Домашнее задание к 11.02.2013. Львовская, понедельник.
1. Блоха прыгает по плоскости, совершая прыжки одной и той же длины, но поворачивая каждый раз на 1 градус влево или вправо от предыдущего направления. Докажите, что она может вернуться в исходную точку менее чем за 400 прыжков, если она отпрыгнула от этой точки на 40 прыжков.
2. Какое наименьшее число коней можно расположить на шахматной доске, чтобы все остальные клетки находились под боем хотя бы одного из этих коней?
3. На бесконечной шахматной доске расставлены пешки через три поля на четвертое, так что они образуют квадратную сетку. Докажите, что шахматный конь не может обойти все свободные поля, побывав на каждом поле по одному разу.
4. В связном графе 2n вершин, причем все они степени 3. Докажите, что можно так выбрать n+1 ребро, чтобы правильная раскраска в 3 цвета выбранных ребер однозначно задавала правильную раскраску в 3 цвета всех ребер графа (раскраска правильная, если два ребра с общей вершиной имеют разные цвета).
5. В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
6. Паук соединил связной паутиной все восемь углов комнаты 3(3(3 . Может ли общая длина паутины быть меньше 19?
7. Пусть a и n – натуральные числа. Известно, что последняя цифра суммы a+a2+...+an равна 1. Докажите, что последние цифры чисел a и n тоже равны 1.
8. Докажите, что всякое натуральное число может быть представлено в виде отношения двух натуральных чисел, в записи каждого из которых встречаются подряд цифры 1997.
9. Верно ли, что для любых различных чисел a и b найдутся такие целые числа m и n, что am + bn > 0, an + bm < 0?
10. n чисел x1, x2, , xn удовлетворяют двум условиям: (xk=0, (xk2=1. Докажите, что среди них найдутся два числа, произведение которых не больше –1/n.
15

Приложенные файлы

  • doc 15222712
    Размер файла: 23 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий