O 2011 г. Д.Н. Букин Волгоградский госуниверситет. hetfieldukinmail.ru. 100 Д.Н. Букин. в основаниях математики» [14, с. 136].


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Кризис оснований математики как кризис онтологии 95 Кризис оснований математической раци о- нальности как одного из смыслоо б разующих принципов существования человека в мире з а- трагивает не только саму математику, но и ра з- личные области ест е ственно - научного знания, ©разговарива ю щиеª на еѐ языке. Более того, от ответов на вопросы ©что такое математический объект?ª, ©как он существует?ª, ©как возможно развитие математической науки?ª зависит ра с- ширение возможностей рационального позн а- ния в целом. Постановка и решение данных в о- и ест е- ствознания, а философии, издревле тесно св я- занной с математикой и играющей существе н- ную роль в р азвитии последней. Вместе с тем большинство современных исследований в о б- ласти философии мат е матики сосредоточено скорее на традиц и онных проблемах проясне ния онтологического статуса математического об ъ- екта и установления возможности синтеза ра з- личных методологических принципов его п о- знания, чем на выявлении исторических зак о- номерностей развития матем а тического знания. Цель настоящей работы ‬ раскрыть природ у коренных преобразований, продолжающих п о- о- литª, и наметить контуры преодоления новых кризисов в контексте развития предста в лений о математическом объекте. Известный современный философ математ и- ки Э. Агацци пишет: ©То, что философия мат е- матики ‬ по крайней мере, в западной культуре ‬ существовала всегда, с момента зарождения самой философии , ‬ не просто слова… Даже сегодня ряд философских направлений испыт ы- вает влияние математической мысли (от Ра с села до Гуссерля, от Ви тгенштейна до Карнапа и логического эмпирицизма), и многие исслед о- вания касаются именно вопросов ©философии ь- зя отрицать, что математика, изначально з а- явившая о своей исключительности и даже б о- жественности (пифа горейцы), к настоящему времени обладает не только собственным яз ы- ком, методологией и логикой разв и тия, но и, в отличие от многих других наук, многовековой историей . Оставляя в стороне сугубо эпистем о- логические ос о бенности возможного влияния на предмет фило софии математического (как, впр о чем, и всякого другого) знания, обратимся к оригинальной методологической ко н цепции, разрабатываемой А.Г. Барабаш е вым [2]. В еѐ рамках формулируются два подхода к исслед ванию процесса развития математики: внутр и- научный , выр ажающий позицию © “ работающ е- го ” математика или математических коллект и- вов, высказывающих предположения (созда ю- щих прогнозы) о будущем своих разд е лов или же математики в целомª [2, с. 7] , и внешний , основной разновидностью которого следует сч и тать ©предвиден ие тенденций на основании выявления исторических закономерностей ра з- вития мат е матикиª [2, с. 96]. Отметим, что фиксация кризисной с и туации в математике, особенно в рамках первого по д- , ‬ не столь простая зад а ча, как это может показаться на первый взгляд . Известно, что безотносительно к трѐм традиционно выделя е- мым кризисам ‬ античности, Нового времени и XIX века ‬ математика на всѐм продолжител ь- ном пути своего развития находится в состо я- нии перманентного поиска решения час т ных УДК 111.1 КРИЗИС ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ КАК КРИЗИС ОНТОЛОГИИ  20 11 г. Д.Н. Букин Волгоградский гос университет @ mail . ru Поступила в редакцию 17.09.2011 Рассматривается проблема кризиса оснований математики, его взаимосвязи с революциями в мат е- матике и развитием онтологии как учения о всеобщих закономерностях бытия. Показано, что матем а- д- ложена специальная дефиниция понятия ©кризисª. Намечены философски е пути преодоления кризи с- ных сит у аций, возникающих в структуре математического знания. Ключевые слова: кризис, революция, ма тематика, онтология, диалектика . Д.Н. Букин 96 задач, далеко не всегда сфор мулир о ванных в рамках ©кризиснойª математики (например, непозиц и онность римской системы счисления, недоказанность до определѐнного времени теоремы Ферма и гипотезы Пуанкаре и т.д.). В целом, как справедливо отмечает А.С. Нарин ь- яни, ©если присмотреться к ис тории математ и- ки, то она представляет собой цепь концепт у- альных п о трясений и качественных перемен… без кот о рых в принципе невозможно развитие никакой подлинной наукиª [3, с. 72]. Другими словами, ©работающийª математик, встречаясь в св о ей практике с более или менее значимыми затруднениями , может как возводить их в ст а- тус ©кризисныхª, так и не делать этого. Отс ю- да следует, что либо кризисов значительно больше, чем три, либо само это понятие нед о- статочно прояснено и требует более скруп у- лѐзн о го тематического н аполнения. Именно на втором обстоятельстве мы предлагаем остан о- виться подро б ней. Действительно, в большинстве случаев ра с- суждения о кризисе начинаются с ко н статации самого кризиса. Представители различных наук оперируют этим понят и ем так, словно имеют уста новку на его общедоступность и общеи з- вестность. Однако такая установка исследов а- телей на прозрачность и очевидность для всех изучаемой ими проблемы далеко не всегда оправда н на. Далеко не лучшим образом на этом фоне выглядит и ©терминологический плюр а- лизмª, присущий совреме н ному философскому дискурсу ‬ пр и умножение смыслов понятия ©кризисª сверх необходимости отнюдь не уд о- влетворяет вполне естественное стремление исследователя охватить ©многое в м а ломª. В этой связи мы считаем необходимым предп о- слать дальней шей разработке нашей темы ра с- смотрение основных по д ходов к определению кризиса и, по возможности, привести ту его д е- финицию, на которую будет опираться излож е- ние последующего материала. Итак, традиционно под кризисом принято понимать ©резкий, крутой перело мª [4, с. 263], локализованный во времени и подразумева ю- щий некую завершѐнность предыдущего этапа развития. Однако, на наш взгляд, такая дефин и- ция скорее подходит для описания революцио н- ной сит у ации, в том числе и в науке (речь об этом пойдѐт ниже), в то в ремя как границы кр и- зиса далеко не всегда поддаются чѐткой фикс а- ции. Особенно это касается п о следней фазы, завершения кризиса, то есть такого временного момента, минуя который можно с уверенностью заявить о снятии тех или иных противоречий, решении той или иной проблемы. Так, напр и- мер, факт несоизмеримости стор о ны квадрата с его диагональю, доказа н ный пифагорейцами, положил начало первому кризису в математике. Но как в таком случае зафиксировать его конец , если известно, что множество значимых в этой област и результатов по проблеме иррационал ь- ных чисел, поставленной в досократическую эпоху, было получено много позже учѐными Среднего и Ближнего Востока (аль - Бируни, Омар Хайам, Ибн аль - Багдади и др.)? Помимо этого, существует ещѐ одна мал о- изученная сторона обо значенной проблемы ‬ это вопрос о взаимосвязи п о нятий ©кризисª и ©научная революцияª. Ситуация здесь также сильно осложняе т ся отсутствием среди учѐных единого мнения по поводу того, чем по сути является ©революция в математикеª и возмо ж- на ли она вообще. З. А. Сокулер п и шет: © Один и тот же эпизод истории математики одним авт о рам представляется примером научной революции, а другим ‬ нет (нововведения Ле й- бница в исчислении бесконечно малых; введ е- ние Декартом координатного метода в геоме т- рию). В качестве примеро в научных револ ю- ций приводя т ся утверждение неевклидовой геометрии в XIX в., появление исчисления бесконечно малых, создание математической логики Готлобом Фреге и т.д.ª [5, с. 51 ]. В с о- временной философско - математической лит е- ратуре можно встретить и такие радикальные высказывания, согласно которым ©революции в матем а тике не происходятª [6, с. 19]. Таким образом, для большинства специалистов рев о- люция в мат е матике, так или иначе, ©играет роль межевого знака, отмечающего разрыв между традиционными представлен иями и н о- вым образом мат е матики и математической деятельностиª [5, с. 50]. В свете вышесказанного, мы считаем более точной дефиницию, согласно кот о рой ©кризис ‬ это состояние, при котором существующие средства достижения целей становятся неаде к- ватными, в р езультате чего возникают непре д- сказуемые ситуации и проблемыª [7]. Возмо ж- но, она не столь буквально соответствует эт и- мологии (в переводе с греческого krisis означает ©решениеª, ©поворотный пунктª, ©исходª), но, с точки зрения ц е лей настоящего исследования, представляется достаточно релевантной, п о- скольку акцентирует внимание не столько на ©переломеª, ©исходеª, революционном скачке, сколько на самой необходимости ©поворотаª, преобразований. Всегда ли кризис заканчивае т- ся революцией ‬ в о прос неоднозначный, та к же как и трактовка кризиса в качестве обязател ь- ной составляющей революционной ситуации Кризис оснований математики как кризис онтологии 97 (подчеркнѐм, что речь идѐт не об общ е ственно - экономическом развитии, а и с ключительно о науке). В некоторых сл у чаях можно говорить лишь о частичном совпадении последств ий р е- волюции и разрешѐнного кризиса (если, напр и- мер, признать, следуя К. Данмор [8], в кач е стве революции введение теории иррац и ональных в древнегреческой математике , или, согласно Дж. Джиорелло , ‬ исчисл е ние бесконечно малых в Новое время [9]). Сам факт т ого, что ©революции в математ и- ке выводят следующее поколение… к сове р- шенно новым возможн о стям, как правило, даже непредставимым с точки зрения предыдущегоª [10, с. 81], ещѐ не гарантирует перехода данной проблемы с ©внутринаучногоª уровня матем а- тического з нания на ©внешнийª уровень фил о- софской рефлексии над его основаниями. Др у- гими словами, сущностью революции является трансформация научной парадигмы, не обяз а- тельно сопровождающаяся осмыслением осн о- ваний таких изменений. Кризис же требует адекватных средств понимания и описания м и- ра, по - новому, с неожиданных сторон открыв а- ющегося математику. И.Н. Бурова отмечает: ©Разрешение кризисов оснований математики можно понимать двояко: во - первых, как фил о- софское об ъ яснение создавшейся ситуации и на его основе указани е методологических путей выхода из кризиса и, во - вторых, как ук а зание чисто математического, констру к тивного пути к устранению возникших трудностей в постро е- нии теории. Если во втором смысле из кризисов в математике всегда бывали найдены выходы, то в пе р во м смысле ни один из кризисов не был разрешѐн математикамиª [11, с. 8 ‬ 9]. Др у гими словами, исключение философского анализа из реальной картины исследования с неизбежн о- стью приводит к тому, что математик либо не владеет способами преодоления кризиса, либо ра ботает в направлении преодоления последн е- го, даже не подозревая об этом. Это обусловл е- но тем, что кризис принципиально не может быть описан ©изнутриª средствами самой мат е- матической науки. В этом отношении интерес представляет подход К. Данмор, суть которо го состоит в ра с- смотрении математики в виде иерархии двух уровней: ©объектногоª, включающего © пон я- тия, терминологию и обозначения, определения, аксиомы и теоремы, методы доказательств и решений проблем, проблемы и предполож е нияª и ©метауровняª ценностей ма тем а тического сообщества, ©определяющих цели и методы их достижения и включающие в себя общие пре д- ставления о пр и роде математикиª [8, с. 211]. Если убрать из данного подхода аксиологич е- скую и конвенциональную нагруженность и пренебречь некоторой неточность ю (© мета м а- тематический уровеньª не может ост а ваться в рамках математики по определению), мы см о- жем разглядеть за этими п о строениями попытку предельно абстрактной рефлексии над пробл е- мами бытия математического объекта per se . Но ведь это есть не что иное, к ак онтология , то есть учение о всеобщих закономерностях бытия как такового. Именно онтология обеспечивает предельный анализ внутренних связей и отн о- шений предмета с последующим предельным же обобщением в форме той или иной закон о- мерности его развития. В то время как филос о- фия науки с ©внешнихª (в терминологии А.Г. Барабашева) позиций исследует процесс преодоления математикой различных трудн о- стей, не вмешиваясь в логику еѐ развития, онт о- логия отвечает на любые ©вызовыª, сопряжѐ н- ные с невозможн о стью представ ить мир во всѐм его многообразии и изменчивости. Только она способна, продуцируя ©метазнаниеª о фунд а- ментальных основаниях кризиса, опр е делить его границы и критерии разрешения. Принимая данный тезис за основу дальнейших рассужд е- ний, мы получаем возможност ь проследить и с- торию во з никновения кризисов в математике как серию ©разрывовª, возникающих в онтол о- гической рефлексии над основаниями непр е- рывно развивающегося математического зн а- ния. Ниже мы продемонстрируем это на прим е- ре конкретных кризисов, обсуждению которых в своѐ время была посвящена обширная фил о- софско - математическая литература. Итак, как известно, первый в истории мат е- матики кризис связан с открытием пифагоре й- ским союзом неких ©мистическихª ирраци о- нальностей, которые невозможно было соотн е- сти ни др уг с другом, ни с привычными нат у- ральными числами, более не и с черпывающими весь ряд чисел. Это был серьѐзный удар по м е- тафизической теории античного фин и тизма, спровоцировавший появление внутри матем а- тики как ряда конфликтов (так, например, ге о- метрия оказа лась н е сводимой к алгебре), так и способов их разрешения: ©Естественно, что п о- сле этого в науке всѐ большее и большее ра с- пространение стала получать концепция инф и- нитизма… После открытия ирраци о нальности математики стали искать такую теорию, кот о- рая давала бы обоснование этой иррационал ь- ности в ©конструкти в номª планеª [12, с. 12]. Примечательно, что если математики Евдокс, Евклид, Архимед занялись разработкой ко н- кретных научных методов (в частности, так Д.Н. Букин 98 называемого ©метода исчерпанияª), то филос о- фы Анаксаго р, Зенон, Платон и Аристотель с о- средоточили своѐ внимание на категориальной проработке проблемы внезапно образовавшег о- ся ©онтологического вакуумаª, препятствующ е- го дальнейшему построению системы матем а- тического знания. Платон, например, пр о водит важное раз деление понятий и логических кат е- горий как универсальных смысловых ©матрицª, что значительно расширяет методологию рац и- онального, в том чис ле и математического п о- знания. Однако особо здесь стоит отметить з а- слуги Аристотеля, не просто осуществивш е го логико - грамм атичес кую концептуализацию ф и- лософских категорий, но и впе р вые в истории науки построившего их ц е лостную систему, в рамках которой стало возможным исследование противоречий в теории и объективной реальн о- сти, соотношени и умозрительных доводов и частн о н аучных пол ожений и т.д. И, несмотря на то что дальнейший анализ категорий не прекр а- тился и после Стагирита (Плотин, Боэций, средневековые схоласты, Николай Кузанский и т.д.), следующую революционную веху в ист о- рии их систематизации откроют только пре д- стави тели немецкой классической философии ‬ Кант и Гегель. На наш взгляд, именно г е ний Аристотеля существенно отдалил следующее потрясение основ математической науки, п о- стигшее еѐ по прош е ствии более чем двадцати столетий. Таким потрясением для всей европейской математики стал второй кризис, св я занный с разработкой дифференциального и интеграл ь- ного исчисления, в котором используются бе с- конечно малые величины. Введѐнные в матем а- тику для обосн о вания методов интегрирования и дифференцирования, такие величины не п о- л учили сами по себе никакого обоснования. По этой причине они долгое время ост а вались без чѐткого определения, что н и как не устраивало математиков, счита в ших свою науку точной и не допускающей каких бы то ни было неопр е- делѐнностей. Так, Дж. Джиорелло, отс таивая решающий вклад Ньютона и Лейбница в теор е- тизацию дифференциального исчи с ления, всѐ же признаѐт, что язык, на котором они сформ у- лировали его основы, ещѐ далѐк от языка ©э п- силон - дельтаª Вейе р штрасса, а сами эти основы потребуют позже значительного пер еосмысл е- ния (что и будет проделано Коши) [9, с. 135]. Но даже появление на математической сцене таких мощных фигур, как Коши, сыгравших, по выражению Дж. Джиоре л ло , роль ©охотников за приведениямиª и совершивших, по мнению Д. Даубена , настоящую революцию в математ и- ке [10], не решило сугубо философской пр о- блемы определения статуса новых математич е- ских объектов в общей иерархии мирового б ы- тия. Это, в свою очередь, означает, что и сам кризис оснований математики остался далѐк от преодоления, несмотря на то, ч то темпы разв и- тия еѐ аппарата значительно возросли (в отл и- чие от первого кризиса, сроки решения ключ е- вых ©внутриматематическихª проблем измер я- ются уже не столетиями, а десятилетиями). Т а- ким образом, ©онтологический лимитª анти ч- ной и ренессансной мудрости и счерпал себя, и мат е матики (быть может, сами не отдавая себе в этом отчѐта) оказались перед серьѐзным выб о- ром той философии , без которой можно смо т- реть на мир, но нельзя его видеть . Такой фил о- софией, на наш взгляд, оказ а лась диалектика, принципы которой ра з рабатывались и много раньше, но по - настоящему востребованными стали именно теперь. В.Б. Губин, обращая вн и- мание на трудности, возникшие при п о строении дифференциального исчисления, видит их пр и- чину ©в попытках слишком узкими формал ь- ными средств а ми (©логич ескиª) оперировать с не вполне поддающимся им, в каком - то смысле неисчерпаемым материаломª, в то время как для работы с этим материалом, по его мнению, требуется не формальная, а диалектическая л о- гика [13, с. 199 ‬ 200]. На наш взгляд, значител ь- ную роль в ра зр е шении сложившейся ситуации сыграли Кант и Гегель, которые, основываясь на современных им достижениях математ и ки, довели анализ проблемы бесконечно малых до понимания их закономерной диалектической противоречивости. К сожалению, указания на диалектическу ю природу кризиса, данные представителями немецкой классической фил о софии, не нашли должного отклика в среде математиков XIX столетия (за искл ю чением, быть может, А. де Моргана и Б. Больцано). Пусть значимые, но всѐ - таки фрагментарные победы, одержанные ма тематическим анализом, не стали гара н тами его непогрешимости (так, например, открытым остался вопрос о том, почему бесконечные в е- личины не могут являться корнями алгебраич е- ских уравнений). На этом фоне вовсе не удив и- тельно, что через относительно непродолж и- тельное время разразился третий кризис осн о- ваний математики, связанный с обнаруж е нием парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Ф и- лософскому анализу данной проблемы посв я- щено достаточно большое количество зарубе ж- ных и отечественных источников (среди наиб о- л ее значимых, на наш взгляд, можно назвать работы И.Н. Буровой [11; 12] и Г.И. Руз а вина Кризис оснований математики как кризис онтологии 99 [14]), поэтому мы не будем подробно остана в- ливаться на содержании данного кризиса, п о- пытках его преодоления и т.п. Отметим лишь, что он, как и пред ы дущий, является следс твием всѐ увеличивающегося разрыва между матем а- тикой и онтологией, что с учѐтом увеличения темпов роста достижений первой свидетел ь- ствует о значительных проблемах во второй. Опираясь на приведѐнные рассуждения, ох а- рактеризуем с философских п о зиций ситуацию , складывающуюся в настоящее время в онтол о- гии и математ и ке. Прежде всего наше внимание привл е кает то обстоятельство, что в последнее время филос о- фов всѐ больше беспокоит положение дел как в самой онтологии, так и в вопросах еѐ участия в решении прикладных задач, стоящих перед ч е- ловеком и обществом. В частности, эта пробл е- ма активно обсуждается участниками междун а- родной научной конференции ©С о временная онтологияª, проводимой еж е годно в Санкт - Петербурге. Один из п о стоянных председателей оргкомитета конференц ии профессор В.Н. С а- гатовский твѐрдо убеждѐн, что ©основные пр о- блемы онтологии ‬ это понимание еѐ предмета и методаª [15, с. 44]. В своих докладах он настойчиво высказывает мысль о необходим о- сти формирования собственного языка онтол о- гического исследования, общего для всего и с- следовательского пространства, а также о соо т- несении получаемых в онтологии результ а тов с реальной практикой. Мы разделяем точку зрения В.Н. Сагато в- ского и полагаем, что современному филосо ф- скому дискурсу свойственно чрезвычайно вол ь- ное обращение с базовыми категориями, на языке которых традиционно излагаются фунд а- ментальные теории бытия. Как ни парадоксал ь- но это прозвучит, современная онтология тем меньше обращается к необходимости глубокой рефлексии над собственными структурами, чем на стойчивее эта нео б ходимость проявляется. Так, собственно термины ©онтологияª, ©мет а- физикаª, а также ключевые понятия ©бытиеª, ©сущееª, ©существованиеª зачастую употре б- ляются в синонимичном значении, приобретают новые, ©неклассическиеª смыслы, что приводит к амфиболиям, противоречиям, бесплодной схоластике. Что касается методологии современной о н- тологии, то и здесь сложно достичь я с ности. Многие исследователи пытаются работать в рамках неклассической парадигмы, необход и- мыми составляющими которой являются: гу м а- нитаризация науки, включенность ценностно - целевых установок ©живогоª субъекта в пр о- цесс исследования, модернизация понятийного аппарата философии и т.п. Однако подо б ные усилия, несмотря на свою кажущуюся привл е- кательность, не только не дают ни одного отв е- та, но и порождают у онтологов все новые в о- просы. В.Н. Сагато в ский отмечает: ©Трактовка бытия в философии ХХ века, проявившаяся прежде всего в работах М. Хайдеггера и Ж. - П. Сартра и имеющая методологическую о с нову в феноменологии Э. Гуссерля, породила ря д вопросов, не получивших пока удовлетв о- рительного решения… Факт и чески понимание ©естьª остается на обыденном уровне… и не проясняется с помощью экзистенциалов… Оставаясь в рамках имманентности субъекти в- ного начала, полагающего предметный мир, феноменолог и ческая онтология не способна выйти на объе к тивность ª [16]. Вместе с тем влияние на современного и с- следователя ©философской модыª о т рицания старого, имеющей скорее политический, неж е- ли методологический характер, весьма ощут и- мо. Не зайдем ли мы в тупик, увле кшись деко н- струкцией ©устаревшихª на чей - то взгляд школ, уже доказавших свою результативность и э ф- фективность? В частности, речь идѐт о ©во з- вращенииª в онтологию диалектического мет о- да, на волне резкой критики философии мар к- сизма незаслуженно от о двинутого на второй план. Признание огромного вклада в развитие учения о всеобщем развитии основателей и крупнейших представителей школы диалект и- ческого материализма вовсе не отменяет во з- можности создания новых когнитивных пра к- тик вне этой парадигмы. В свете сказанн ого нельзя не согласиться с М.В. Поповым: ©На первый взгляд может показаться, что диалект и- ка никак не может быть методом онтологии. Ведь онтология есть учение о бытии, а диале к- тика есть отрицательное, негативное движ е- ние… Но в то же время диалектика предпо лаг а- ет абсолютное отрицание, то есть отрицание также отрицания, то есть восстановление б ы- тия… Диалектический метод, таким образом, позволяет преодолеть кажущу ю ся статичность и схоластичность онтол о гии и выступает как внутренне присущий, имманентный ей мето дª [17, с. 587 ‬ 588]. В этой связи перспективным предста в ляется диалектическое исследование о н тологических оснований математического кризиса. Г.И. Руз а- вин, отмечая диалектический характер против о- речий между фактическим содержанием нали ч- ного математического знания и его обоснован и- ем, пишет: ©Именно такого рода против о речия в наиболее острой форме привод и ли к кризисам Д.Н. Букин 100 в основаниях математикиª [14, с. 136]. Следов а- тельно, понятие кр и зиса в математике может быть эксплиц и ровано в контексте принципов диалектики и определяться как состояние, при котором существующие средства дост и жения целей математики становятся неадекватн ы- ми, в результате чего возникают противор е- чия, требующие разрешения методами фил о- софии. Таким образом, рассуждая о прикладном а с- пекте заявленной в названии раб о ты темы, мы приходим к выводу о том, что наступление сл е- дующего, четвѐртого кризиса ‬ не такая уж отдалѐнная перспектива. Отчасти это подтве р- ждается самыми последними ф и лософскими исследованиями отдельных областей математ и- ки. Так, А.С. Нарин ьяни напрямую зая в ляет о кризисном состоянии современной вычисл и- тельной математики: ©Вычислительная матем а- тика пока реш а ет те задачи, которые может, а отнюдь не те, решение которых от неѐ требуе т- ся… Очевидно, что в данном случае требуется радикальное измен ение самой базовой конце п- ции вычислительной математикиª [3, с. 72]. При этом автор убедительно показ ы вает, что суть данной проблемы заключается в преобл а- дании в структуре ©математики расчетовª алг о- ритм и ческой концепции, отвечающей на вопрос ©какª в ущерб м етодологии моделирования, отвеча ю щей на вопрос ©чтоª. ©Разрывыª, речь о кот о рых шла выше, могут оказаться ещѐ более грандиозными, если не пр и нять во внимание тот факт, что онтология XXI века сама переж и- вает кризисное состояние и нуждается в обр е- тении едины х концептуальных оснований, м е- тодол о гии, языка и т.д. Подводя итог всему вышеизложенному, о т- метим, что кризисы оснований м а тематики не есть частные затруднения, с которыми она з а- кономерно сталкивается, как и всякая другая развивающаяся наука. Это ‬ эпистем ологич е- ские феномены, имеющие глубокую онтолог и- ческую природу. Они являются предм етом не математики, а философии и выступают прям ы- ми следствиями проблем, возникающих в онт о- логии на всѐм пути еѐ разв и тия. Кр изис оснований математики ‬ это прежде всего кризи с онтологии, сутью которого являе т- ся неспособность описать объекты, факт б ы тия или становления которых выходит за рамки привычных представлений о мире. Выход из такого кризисного состояния необходимо и с- кать не столько в совершенствовании методов самой мате матики, сколько в обновлении к о- гнитивных средств онтологии, не отр и цающих классическую парадигму, но м о гущих выходить за еѐ рамки. В этом смысле диалектика выст у- пает исторически проверенным методом п о- стижения бытия математического объекта в его развитии и взаимосвязи с объективной реальн о- стью. Проблемы, затронутые в статье, в наст о- ящее время составляют предмет онтологии м а- тематики ‬ сравнительно молодой философской дисциплины, нацеленной на выявление всео б- щих зак о номерностей бытия математического объекта и математической реальности в ц е лом. Список лит е ратуры 1. Agazzi E. The rise of the foundational r e search in mathematics // Synthese. Dordreht . 1974. V . 27. № 1 ‬ 2. P . 7 ‬ 26. 2. Барабашев А.Г. Будущее математики: метод о- логические аспекты прогнозирования. М.: Издател ь- ство Московского университета, 1991. 160 с. 3. Нариньяни А.С. Математика XXI ‬ рад и- кальная смена парадигмы. Модель, а не А л горитм // Вопросы философии. 2011. № 11. С. 71 ‬ 82. 4. Ожегов С.И. Словарь русского языка / Под ред. Н.Ю. Шведовой. М.: Рус. яз. , 1986. 797 с. 5. Сокулер З.А. Зарубежные исследования по ф и- лософским проблемам математики 90 - х гг. Нау ч но - аналитический обзор . М .: ИНИОН РАН , 1995. 74 с . 6. Crowe M. Ten ©lawsª concerning patterns of change in the history of mathematics (1975) // Rev o l utions in mathematics. Oxford , 1992. P . 15 ‬ 20. 7. Кризис // Словарь по общественным наукам [Электронный ресурс]. URL: http :// slovari . yandex.ru ( дата обращения 23.05.2011) . 8. Dunmore C. Meta - level revolutions in mathe - ma t ics // Revolutions in mathematics. Oxford, 1992. P. 209 ‬ 225. 9. Giorello G. The ©fine structureª of mathematical revolutions: Metaphysics, legitimacy, and rigour. The case of calculus from Newton to Berkley and Maclaurin // Revolutions in mathematics. Oxford, 1992. P. 134 ‬ 168. 10. Dauben J. Appendix (1992): Revolutions revi s- ited // Revolutions in mathematics. Oxford , 1992. P . 72 ‬ 82. 11. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М.: Наука, 1976. 176 с. 12. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконе ч- ности в истории науки. М.: Наука, 19 87. 133 с. 13. Губин В.Б. Математика как формализова н- ная имитация этапа структурирования мира в отр а- жении субъекта // Философские науки. 1996. № 1 ‬ 4. С. 196 ‬ 206. 14. Рузавин Г.И. Диалектические и формал ь но - логические противоречия в развитии научного п о- знан ия // Диалектическое и научное мышление. М . : Наука, 1988. С. 132 ‬ 146. 15. Сагатовский В.Н. Основные проблемы и зад а- чи современной онтологии в России // Пар а дигма: Очерки философии и теории культ у ры. СПб.: Изд - во С. - Петерб. ун - та, 2006. С. 44 ‬ 53. Кризис оснований математики как кризис онтологии 101 16. Сагат овский В.Н. Триада бытия (введ е ние в неметафизическую коррелятивную онт о логию). СПб.: Изд - во С. - Петерб. ун - та, 2006. 123 с. 17. Попов М.В. Диалектика как метод онт о логии // Современная онтология III . Категория взаимоде й ствия. СПб.: Изд - во С. - Петерб. ун - т а, 2009. С. 587 ‬ 588. CRISIS OF THE BASES OF MATHEMATICS AS ONTOLOGY CRISIS D.N. Bukin The article is devoted to the problem of crisis of the bases of mathematics, its interrelation with revolutions in Mathematics and ontology development as the doctrine about general laws of being. It is shown that mathematical crises have the ontological nature and dialectic charac ter. Taking into account this, the special definition of concept ©crisis ª is offered. Philosophical ways of overcoming of the crisis situations arising in structure of mathematical knowledge are planned. Keywords: crisis, revolution, mathematics, ontology , dialectics.

Приложенные файлы

  • pdf 11913615
    Размер файла: 278 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий